Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi: differenze tra le versioni

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| Nome e cognome dell'autore = Mario Pieri
| Titolo = Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi
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| Anno di pubblicazione = 1896
| Nome della pagina principale = Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi
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| Anno di pubblicazione = 1896
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| Progetto =matematica
| Il testo è una traduzione? = no
| Argomento =Matematica
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Estratto dalla «'''Rivista di Matematica'''», 6(1896.99), pp. 9-16.
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'''§ 1.''' — La Geometria projettiva degli spazi da quante si vogliano dimensioni, intesa come scienza autonoma, rimane tuttavia soggetto di controversia per molti, a cui non sembra che tutti i suoi principi siano affermati con quel grado di chiarezza e di rigore, che si pretende a ragione in ogni ramo di scienza esatta. Una succinta analisi delle premesse, su cui potrebbe logicamente fondarsi una dottrina projettiva degli iperspazi, non è dunque fuor di proposito ; quantunque non manchino lavori di molto pregio volti al medesimo scopo, od aventi un fine prossimo a quello <ref>Ved. p. e. A<small>MODEO</small> "''Quali possono essere i postulati, ecc.''" (Atti dell'Accademia dello Scienze di Torino, 1891). — V<small>ERONESE</small> «''Fondamenti di Geometria a più dimensioni, ecc.'' (Padova, 1891). — F<small>ANO</small> «''Sui postulati fondamentali della Geometria Projettiva, ecc.''» (Giornale di Matematiche, 1891). — E<small>NRIQUES</small> «''Sui fondamenti della Geometria Projettiva''» (Rendic. del R. Istituto Lombardo, 1894).</ref>.
 
In uno studio recente "''../{../{TestoCitato../t../e../s../t../o../C../i../t../a../t../o../|Sui../S../u../i../ principi../p../r../i../n../c../i../p../i../ che../c../h../e../ reggono../r../e../g../g../o../n../o../ la../l../a../ Geometria../G../e../o../m../e../t../r../i../a../ di../d../i../ Posizione../P../o../s../i../z../i../o../n../e../}../}../''" <ref>Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno ''m''.1.</ref> ho proposto diciannove postulati atti a fondare l'ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato <ref>In altre due Note, che fan seguito a quella (Atti di Torino, 1896).</ref> che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione («costruirende Geometrie»), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Qui nulla ho da mutare circa l'indirizzo ivi adottato, che è un indirizzo ''puramente deduttivo'' ed ''astratto'' <ref>Astratto, in quanto prescindo da ogni interpretazione fisica delle premesse, e quindi anche dalla loro evidenza, ed intuitività geometrica: a differenza di un altro indirizzo (che chiamerei fisico-geometrico) secondo il quale gli enti primitivi e gli assiomi voglion esser desunti dall'osservazione diretta del mondo esterno, e identificati con lo idee che si acquistano por via d'induzione sperimentale da certi determinati oggetti e fatti fisici (PASCH, {{AutoreCitato|Giuseppe Peano|PEANO}}, ...).</ref>; e poco da aggiungere e togliere per passare dal campo delle rette e dei piani projettivi a quello molto più vasto delle forme lineari di n° specie in uno ''spazio generale''; entro un ambiente, cioè, dove esistano forme lineari di specie comunque grande: così che il presente scritto può aversi come appen dice, o complemento, di quello. In particolare nulla è da modificare circa i postulati ''del separarsi'', i quali saranno qui riprodotti (§ 5) senza amplificazione di sorta, rinviandosi per maggiori notizie il lettore alla memoria citata. Dalla quale è sperabile che emerga eziandio la possibilità di provare coi metodi della logica algebrica alcune affermazioni, che i termini del presente articolo non consentono di approfondire quanto sarebbe opportuno.
Circa i seguenti postulati non è detto che siano ''indipendenti'' fra loro, nè ''irreduttibili'': condizioni queste, che toccano quasi alla perfezione ideale; soltanto si afferma che essi ''bastano'' (in un cogli assiomi logici <ref>Ai quali (seguendo in questo il DEDEKIND ed altri) ascriveremo altresì le proposizioni primitive sul ''numero intero positivo'' — come ad es. il principio d' ''induzione'' (o, piuttosto, di ''deduzione'') completa — poichè non par guari possibile alcuna scienza deduttiva senza il loro concorso. — Questa comunanza di assiomi (è noto che l' ''Analisi pura'' non ha postulati suoi propri, se tali non siano i principi sul ''numero'' (int. pos.) e sull'idea di ''successivo ad un numero'') è una conferma della solidarietà esistente fra le discipline analitiche e geometriche.</ref>, o leggi del pensiero) a sostener l'intero edifizio d'una geometria projettiva astratta degli iperspazi.
 
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