Pagina:Teoria degli errori e fondamenti di statistica.djvu/204: differenze tra le versioni
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{{RigaIntestazione|188||{{Sc|Capitolo 11 - Stime di parametri}}}} |
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188 CAPITOLO il — STIME DI PARAMETRI |
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{{Ct|class=titolo3|11.4.5 Interpolazione non lineare}} |
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Formule analoghe a quelle trovate si possono ricavare per risolvere il |
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problema dell’interpolazione di curve di ordine superiore al primo (parabole, |
Formule analoghe a quelle trovate si possono ricavare per risolvere il problema dell’interpolazione di curve di ordine superiore al primo (parabole, cubiche, polinomiali in genere) ad un insieme di dati sperimentali, sempre usando il metodo della massima verosimiglianza. |
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cubiche, polinomiali in genere) ad un insieme di dati sperimentali, sempre |
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Nel caso poi ci si trovasse di fronte ad una curva di equazione diversa da un polinomio, in parecchi casi è possibile ''linearizzare'' la relazione cambiando variabile: così, ad esempio, se due grandezze hanno tra loro una relazione di tipo esponenziale, il logaritmo naturale ne avrà una di tipo lineare: |
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usando il metodo della massima verosimiglianza. |
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Nel caso poi ci si trovasse di fronte ad una curva di equazione diversa da |
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| <math>y = K e^{-bx} </math> |
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un polinomio, in parecchi casi è possibile linearizzare la relazione cambian- |
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| {{Cs||padding:0 2em}} | <math>\Longleftrightarrow</math> |
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do variabile: così, ad esempio, se due grandezze hanno tra loro una relazione |
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| <math>\ln y = \ln K - bx \; = \; a-bx</math>. |
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di tipo esponenziale, il logaritmo naturale ne avrà una di tipo lineare: |
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|}<section end="s1" /><section begin="s2" /> |
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y=Ke”"‘ <::> lny =lnK—bx =a—l0x. |
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{{Ct|class=titolo2|11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza}} |
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rosimiglianza |
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Per concludere il capitolo, presentiamo altre tre applicazioni del metodo della massima verosimiglianza: la stima delle probabilità ignote di un insieme di modalità esclusive ed esaurienti cui può dar luogo un fenomeno casuale; la stima sia della media che della varianza di una popolazione normale; e la stima del range di una popolazione uniforme.<section end="s2" /><section begin="s3" /> |
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Per concludere il capitolo, presentiamo altre tre applicaziom del meto- |
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do della massima verosimiglianza: la stima delle probabilità ignote di un |
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insieme di modalità esclusive ed esaurienti cui può dar luogo un fenome- |
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Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un numero finito <math>M</math> di eventualità, ognuna delle quali sia associata ad un valore <math>p_i</math> ignoto della probabilità; se, eseguite <math>N</math> prove indipendenti, indichiamo con <math>n_i</math> la frequenza assoluta con cui ognuna delle <math>M</math> eventualità si è presentata nel corso di esse, quale è la stima di massima verosimiglianza, <math>\widehat p_i</math>, per le incognite probabilità <math>p_i</math>? |
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no casuale; la stima sia della media che della varianza di una popolazione |
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normale; e la stima del range di una popolazione umforme. |
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La funzione di verosimiglianza è, visto che la generica delle <math>M</math> eventualità, di probabilità <math>p_i</math>, si è presentata <math>n_i</math> volte, data<ref>A meno di un fattore moltiplicativo costante, corrispondente al numero di modi in cui <math>N</math> oggetti si possono ripartire tra <math>M</math> gruppi in modo che ogni gruppo sia composto da <math>n_i</math> oggetti; numero delle ''partizioni ordinate'' (vedi in proposito il paragrafo {{Pg|246#ca_7|A.7}}).</ref> da |
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{{Centrato|<math>\mathcal{L} ( \boldsymbol{n}; \boldsymbol{p} ) = \prod_{i=1}^M {p_i}^{n_i}</math>}}<section end="s3" /> |
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Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un nume- |
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ro fimto M di eventualità, ognuna delle quali sia associata ad un valore pi |
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ignoto della probabilità; se, eseguite N prove indipendenti, indichiamo con |
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ni la frequenza assoluta con cui ognuna delle M eventualità si è presentata |
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nel corso di esse, quale è la stima di massima verosimiglianza, pi, per le |
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incogmte probabilità pi? |
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La funzione di verosimiglianza è, visto che la generica delle M eventuali- |
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tà, di probabilità pi, si è presentata ni volte, datag da |
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SA meno di un fattore moltiplicativo costante, corrispondente al numero di modi in cui |
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N oggetti si possono ripartire tra M gruppi in modo che ogni gruppo sia composto da ni |
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oggetti; numero delle partizioni ordinate (vedi in proposito il paragrafo A. 7). |
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