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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/383: differenze tra le versioni

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Analogamente: un’altra curva <math>\rm C_n'</math>, del fascio d’ordine <math>n</math>, sega <math>\rm C_{n+n'}</math> in <math>nn'</math> punti (oltre gli <math>n^2</math> punti-base) e questi insieme agli <math>\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> punti addizionali suddetti determineranno una curva <math>\rm C_{n'}'</math> d’ordine <math>n'</math>.
Analogamente: un’altra curva <math>\rm C_n'</math>, del fascio d’ordine <math>n</math>, sega <math>\rm C_{n+n'}</math> in <math>nn'</math> punti (oltre gli <math>n^2</math> punti-base) e questi insieme agli <math>\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> punti addizionali suddetti determineranno una curva <math>\rm C_{n'}'</math> d’ordine <math>n'</math>.


I due luoghi d’ordine <math>n+n'</math>, <math>\rm C_n + C_{n'}'</math> e <math>\rm C_n' + C_{n'}</math> hanno in comune <math>(n+n')^2</math> punti, de’ quali <math>n^2 + 2nn' + \tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> sono in <math>\rm C_{n+n'}</math>. Ma questo numero è eguale a <math>\tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1+(n-1)(n-2)</math> epperò <math>\geq \tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1</math>; dunque ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) le rimanenti <math>{n'}^2 -\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> intersezioni di <math>\rm C_{n'}</math>, <math>\rm C_{n'}'</math> sono anch’esse in <math>\rm C_{n+n'}</math>, ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d’un fascio d’ordine <math>n'</math>. Così, anche in questo caso, abbiamo in <math>\rm C_{n+n'}</math> due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini <math>n</math>, <math>n'</math>. I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell’uno determina una curva dell’altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data <math>\rm C_{n+n'}</math><ref>{{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}}, ''Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres'' (Comptes rendus, 28 décembre 1857).</ref>.
I due luoghi d’ordine <math>n+n'</math>, <math>\rm C_n + C_{n'}'</math> e <math>\rm C_n' + C_{n'}</math> hanno in comune <math>(n+n')^2</math> punti, de’ quali <math>n^2 + 2nn' + \tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> sono in <math>\rm C_{n+n'}</math>. Ma questo numero è eguale a <math>\tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1+(n-1)(n-2)</math> epperò <math>\geq \tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1</math>; dunque ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) le rimanenti <math>{n'}^2 -\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> intersezioni di <math>\rm C_{n'}</math>, <math>\rm C_{n'}'</math> sono anch’esse in <math>\rm C_{n+n'}</math>, ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d’un fascio d’ordine <math>n'</math>. Così, anche in questo caso, abbiamo in <math>\rm C_{n+n'}</math> due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini <math>n</math>, <math>n'</math>. I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell’uno determina una curva dell’altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data <math>\rm C_{n+n'}</math><ref>{{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}}, ''Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres'' (Comptes rendus, 28 décembre 1857).</ref>.


{{§|54b|(b)}} Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d’ordine <math>n+n'</math> ed in essa i punti-base d’un fascio d’ordine <math>n</math>, si possano determinare i punti-base d’un secondo fascio d’ordine <math>n'</math>, projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d’ordine <math>n+n'</math>, gli <math>n^2</math> punti-base d’un fascio di curve d’ordine <math>n</math>.
{{§|54b|(b)}} Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d’ordine <math>n+n'</math> ed in essa i punti-base d’un fascio d’ordine <math>n</math>, si possano determinare i punti-base d’un secondo fascio d’ordine <math>n'</math>, projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d’ordine <math>n+n'</math>, gli <math>n^2</math> punti-base d’un fascio di curve d’ordine <math>n</math>.


{{§|55|55}}. In primo luogo osserviamo che dal teorema di {{Sc|{{AutoreCitato|Arthur Cayley|Cayley}}}} ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#44|44]]) si ricava:
{{§|55|55}}. In primo luogo osserviamo che dal teorema di {{Sc|{{AutoreCitato|Arthur Cayley|Cayley}}}} ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#44|44]]) si ricava:


Se una curva d’ordine <math>n+n'</math> contiene <math>n^2- \tfrac{(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}</math> intersezioni di due curve d’ordine <math>n</math>, essa contiene anche tutte le altre. Ossia:
Se una curva d’ordine <math>n+n'</math> contiene <math>n^2- \tfrac{(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}</math> intersezioni di due curve d’ordine <math>n</math>, essa contiene anche tutte le altre. Ossia:
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