Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/382: differenze tra le versioni

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 risguardano soltanto le curve d’ordine <math>n+n'>2</math>, poichè, per quelle del second’ordine, basta la proposizione dimostrata al n. [[#50|50]], come si vedrà fra poco ([[#59|59]]). Ci sia dunque lecito supporre <math>n+n'</math> non minore di 3.
-{{§|54|54}}. Sopra una curva <math>\rm C_{n+n'}</math> d’ordine <math>n+n'</math> si suppongano presi <math>n^2</math> punti formanti la base d’un fascio d’ordine <math>n</math>, e ritengasi in primo luogo <math>n>n'</math>. Siano <math>\rm C_n</math>, <math>\rm C_n'</math> due curve di questo fascio. Siccome delle <math>n(n-n')</math> intersezioni delle curve <math>\rm C_{n+n'}</math>, <math>\rm C_n</math> ve ne sono <math>n^2</math> situate in <math>\rm C_n'</math>, così ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#44|44]]) le altre <math>nn'</math> saranno sopra una curva <math>\rm C_{n'}</math> d’ordine <math>n'</math>, la quale è determinata{{nota separata|Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/499|60}}, perchè, essendo <math>n>n'</math>, si ha <math>n\geq \tfrac{n'+3}{2}</math>, epperò <math>nn'\geq \tfrac{n' (n'+3)}{2}</math><ref>Per <math>n=2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n=\tfrac{n'+3}{2}</math>; in ogni altro caso è <math>n>\tfrac{n'+3}{2}</math>.</ref>.
+{{§|54|54}}. Sopra una curva <math>\rm C_{n+n'}</math> d’ordine <math>n+n'</math> si suppongano presi <math>n^2</math> punti formanti la base d’un fascio d’ordine <math>n</math>, e ritengasi in primo luogo <math>n>n'</math>. Siano <math>\rm C_n</math>, <math>\rm C_n'</math> due curve di questo fascio. Siccome delle <math>n(n-n')</math> intersezioni delle curve <math>\rm C_{n+n'}</math>, <math>\rm C_n</math> ve ne sono <math>n^2</math> situate in <math>\rm C_n'</math>, così ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#44|44]]) le altre <math>nn'</math> saranno sopra una curva <math>\rm C_{n'}</math> d’ordine <math>n'</math>, la quale è determinata{{nota separata|Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/499|60}}, perchè, essendo <math>n>n'</math>, si ha <math>n\geq \tfrac{n'+3}{2}</math>, epperò <math>nn'\geq \tfrac{n' (n'+3)}{2}</math><ref>Per <math>n=2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n=\tfrac{n'+3}{2}</math>; in ogni altro caso è <math>n>\tfrac{n'+3}{2}</math>.</ref>.
 Analogamente: siccome delle <math>n(n+n')</math> intersezioni di <math>\rm C_{n+n'}</math>, <math>\rm C_n'</math> ve ne sono <math>n^2</math> sopra <math>\rm C_n</math>, così le altre <math>nn'</math> saranno in una curva <math>\rm C_{n'}'</math> d’ordine <math>n'</math>.
-I due luoghi d’ordine <math>n + n'</math>, <math>\rm C_n + C_{n'}'</math> e <math>\rm C_n' + C_{n'}</math> si segano in <math>(n + n')^2</math> punti, de’ quali <math>n^2+2nn'= n(n+2n')</math> sono situati in <math>\rm C_{n+n'}</math>. Quindi, siccome <math>n(n+ 2 n') \geq \tfrac{(n+n')(n+n'+ 3)}{2}-1</math> <ref>Se <math>n = 2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n(n + 2n') =\tfrac{(n + n') (n + n' + 3)}{2}-1</math>. Per <math>n\geq3</math> si ha <math>n(n+2n')=\tfrac{(n +n')^2+ n (n+n') + n'(n - n')}{2} > \tfrac{(n+n')^2 + 3 (n + n') - 2}{2}</math>.</ref>, così ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) anche le altre <math>{n'}^2</math> intersezioni di que’ due luoghi, ossia gli <math>{n'}^2</math> punti comuni a <math>\rm C_{n'}</math>, <math>\rm C_{n'}'</math>, giacciono in <math>\rm C_{n+n'}</math> e formano la base d’un fascio d’ordine <math>n'</math>. Così abbiamo sopra <math>\rm C_{n+n'}</math> due sistemi di punti: l’uno di <math>n^2</math> punti, base d’un fascio d’ordine <math>n</math>; l’altro di <math>{n'}^2</math> punti, base d’un secondo fascio d’ordine <math>n'</math>. Ogni curva <math>\rm C_n</math> del primo fascio sega <math>\rm C_{n+n'}</math> in altri <math>nn'</math> punti, che determinano una curva <math>\rm C_{n'}</math> del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti <math>\rm C_n</math>, <math>\rm C_{n'}</math> sono tutte situate sopra <math>\rm C_{n+n'}</math>.
+I due luoghi d’ordine <math>n + n'</math>, <math>\rm C_n + C_{n'}'</math> e <math>\rm C_n' + C_{n'}</math> si segano in <math>(n + n')^2</math> punti, de’ quali <math>n^2+2nn'= n(n+2n')</math> sono situati in <math>\rm C_{n+n'}</math>. Quindi, siccome <math>n(n+ 2 n') \geq \tfrac{(n+n')(n+n'+ 3)}{2}-1</math> <ref>Se <math>n = 2</math>, <math>n'=1</math>, si ha <math>n(n + 2n') =\tfrac{(n + n') (n + n' + 3)}{2}-1</math>. Per <math>n\geq3</math> si ha <math>n(n+2n')=\tfrac{(n +n')^2+ n (n+n') + n'(n - n')}{2} > \tfrac{(n+n')^2 + 3 (n + n') - 2}{2}</math>.</ref>, così ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) anche le altre <math>{n'}^2</math> intersezioni di que’ due luoghi, ossia gli <math>{n'}^2</math> punti comuni a <math>\rm C_{n'}</math>, <math>\rm C_{n'}'</math>, giacciono in <math>\rm C_{n+n'}</math> e formano la base d’un fascio d’ordine <math>n'</math>. Così abbiamo sopra <math>\rm C_{n+n'}</math> due sistemi di punti: l’uno di <math>n^2</math> punti, base d’un fascio d’ordine <math>n</math>; l’altro di <math>{n'}^2</math> punti, base d’un secondo fascio d’ordine <math>n'</math>. Ogni curva <math>\rm C_n</math> del primo fascio sega <math>\rm C_{n+n'}</math> in altri <math>nn'</math> punti, che determinano una curva <math>\rm C_{n'}</math> del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti <math>\rm C_n</math>, <math>\rm C_{n'}</math> sono tutte situate sopra <math>\rm C_{n+n'}</math>.
-{{§|54a|(a)}} In secondo luogo, si supponga <math>n\leq n'</math>. Ogni curva <math>\rm C_n</math>, condotta per gli <math>n^2</math> punti di <math>\rm C_{n+n'}</math>, sega questa curva in altri <math>nn'</math> punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d’ordine <math>n'</math> condotta per <math>nn' -\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}</math> di questi punti passa anche per tutti gli altri ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#41|41]], [[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#42|42]]). Dunque, assumendo ad arbitrio altri <math>\tfrac{n'(n'+3)}{2}-\left( nn' - \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}\right)= \tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> punti, tutti questi <math>\tfrac{n'(n'+3)+(n-1)(n-2)}{2}</math> punti giaceranno in una curva <math>\rm C_{n'}</math> d’ordine <math>n'</math>. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data <math>\rm C_{n+n'}</math>.
+{{§|54a|(a)}} In secondo luogo, si supponga <math>n\leq n'</math>. Ogni curva <math>\rm C_n</math>, condotta per gli <math>n^2</math> punti di <math>\rm C_{n+n'}</math>, sega questa curva in altri <math>nn'</math> punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d’ordine <math>n'</math> condotta per <math>nn' -\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}</math> di questi punti passa anche per tutti gli altri ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#41|41]], [[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#42|42]]). Dunque, assumendo ad arbitrio altri <math>\tfrac{n'(n'+3)}{2}-\left( nn' - \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}\right)= \tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> punti, tutti questi <math>\tfrac{n'(n'+3)+(n-1)(n-2)}{2}</math> punti giaceranno in una curva <math>\rm C_{n'}</math> d’ordine <math>n'</math>. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data <math>\rm C_{n+n'}</math>.