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Due fasci di curve si diranno ''projettivi'' quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.
Due fasci di curve si diranno ''projettivi'' quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.


{{§|50|50}}. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine <math>n</math>, l’altro d’ordine <math>n'</math>; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado <math>n</math>, l’altra di grado <math>n'</math>. Queste involuzioni hanno <math>n+n'</math> punti comuni ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione#24b|24, b]]); cioè, nella trasversale vi sono <math>n+n'</math> punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò <math>n+n'</math> punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva <math>\rm C_{n+n'}</math> d’ordine <math>n+n'</math><ref>Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: {{Sc|{{AutoreCitato|Jean Victor Poncelet|Poncelet}}}}, ''Analyse des transversales'', p. 29.</ref>. Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poichè uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’altro<ref>{{{Sc|{{AutoreCitato|Hermann Günther Grassmann|Grassmann}}}}, ''Die höhere Projectivität in der Ebene'' ({{Sc|Crelle}} t. 42, 1851, p. 202).}<br/> {{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}}, ''Construction de la courbe du 3. ordre etc.'' Comptes rendus, 30 mai 1853). — ''Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc.'' (Comptes rendus, 16 août 1853).<br/>
{{§|50|50}}. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine <math>n</math>, l’altro d’ordine <math>n'</math>; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado <math>n</math>, l’altra di grado <math>n'</math>. Queste involuzioni hanno <math>n+n'</math> punti comuni ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Teoria dell'involuzione#24b|24, b]]); cioè, nella trasversale vi sono <math>n+n'</math> punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò <math>n+n'</math> punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva <math>\rm C_{n+n'}</math> d’ordine <math>n+n'</math><ref>Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: {{Sc|{{AutoreCitato|Jean Victor Poncelet|Poncelet}}}}, ''Analyse des transversales'', p. 29.</ref>. Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poichè uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’altro<ref>{{{Sc|{{AutoreCitato|Hermann Günther Grassmann|Grassmann}}}}, ''Die höhere Projectivität in der Ebene'' ({{Sc|Crelle}} t. 42, 1851, p. 202).}<br/> {{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}}, ''Construction de la courbe du 3. ordre etc.'' Comptes rendus, 30 mai 1853). — ''Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc.'' (Comptes rendus, 16 août 1853).<br/>
{{Sc|{{AutoreCitato|Ernest de Jonquières|Jonquières}}}}, ''Essai sur la génération des courbes etc.'' Paris 1858, p. 6.</ref>.
{{Sc|{{AutoreCitato|Ernest de Jonquières|Jonquières}}}}, ''Essai sur la génération des courbes etc.'' Paris 1858, p. 6.</ref>.