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{{Pt|niugati|coniugati}} concorrono in uno stesso punto della medesima ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine#133|133]]); d’altronde essendo <math>i</math> un flesso anche per l’Hessiana ([[#140a|140, a]]), questa curva ha ivi colla sua tangente un contatto tripunto; dunque la tangente in <math>i'</math> sega l’Hessiana in <math>i</math>, ossia la retta che è tangente (stazionaria) della cubica fondamentale nel flesso <math>i</math> è anche tangente (ordinaria) dell’Hessiana nel polo coniugato {{nowrap|<math>i'</math><ref>{{Sc|{{AutoreCitato|Alfred Clebsch|Clebsch}}}}, ''Ueber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung'' (Giornale {{Sc|Crelle-Borchardt}}, t. 58, Berlino 1861, p. 232).</ref>.}}

Questa proprietà si poteva anche conchiudere dalla teoria generale ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana#118c|118, c]]; [[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana#119b|119 b]]), dalla quale segue ancora che tutte le coniche polari passanti per <math>i'</math> hanno ivi fra loro un contatto tripunto.

{{§|141a|(a)}} Ciascuna tangente stazionaria della cubica fondamentale, essendo anche una tangente ordinaria dell’Hessiana, conta come ''due'' tangenti comuni; onde le due curve avranno altre <math>6.6 - 2.9 = 18</math> tangenti comuni. Siccome poi ogni tangente dell’Hessiana ha due poli coincidenti nel punto coniugato al punto di contatto e gli altri due poli distinti nella Cayleyana ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine#135|135]]), così le diciotto tangenti (ordinarie) comuni all’Hessiana ed alla cubica fondamentale toccano quest’ultima curva ne’ punti in cui essa è incontrata dalla Cayleyana.

{{§|141b|(b)}} In generale, se <math>o, o'</math> sono due poli coniugati, e se <math>u'</math> è il terzo punto comune all’Hessiana ed alla retta <math>oo'</math>, questa tocca la Cayleyana nel punto <math>\omega</math> coniugato armonico di <math>u'</math> rispetto ai due <math>oo'</math> ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine#135c|135, c]]). Ma allorchè <math>o</math> sia un flesso della cubica fondamentale, <math>u'</math> coincide con <math>o'</math>; epperò ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Del rapporto anarmonico#4|4]]) anche <math>\omega</math> si confonde con <math>o'</math>. Dunque ''la Cayleyana tocca l’Hessiana nei nove poli coniugati ai flessi della cubica fondamentale''.

{{§|141c|(c)}} Una tangente della Cayleyana, quale è <math>u'r</math> (fig. 8.ª), sega questa curva in quattro punti <math>o_1o_2o_1'o_2'</math>, i quali sono le intersezioni di <math>u'r</math> colle rette costituenti le coniche polari di <math>o, o'</math> ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine#135|135]]). Quando <math>o</math> è un flesso della cubica fondamentale, la conica polare di <math>o</math> è costituita dalla tangente stazionaria <math>oo'</math> e dalla polare armonica, e quest’ultima si confonde con <math>u'r</math>, perchè <math>u'</math> ed <math>o'</math> coincidono insieme. Ond’è che de’ due punti <math>o_1'o_2'</math> l’uno cade in <math>o'</math> (od <math>u'</math>) e l’altro si unisce all’intersezione di due tangenti infinitamente vicine <math>u'r, o'o_1'</math> della Cayleyana, cioè al punto di contatto fra questa curva e la retta <math>u'r</math>. Questa retta ha dunque un contatto tripunto colla Cayleyana; e siccome questa curva, essendo della terza classe e del sest’ordine, non può avere altre singolarità all’infuori di nove cuspidi ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Formole di Plücker#99|99]], [[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Formole di Plücker#100|100]]), così: