Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/467: differenze tra le versioni

<math>D' = - h^3 B</math>, le equazioni [[#eq3|3]]), [[#eq4|4]]) in entrambi i casi danno:

{{eq|

<math>\overline{rn}^3 - h^3=0</math>|6}}

{{Indent|0}} e le radici di questa equazione saranno <math>rs_1, rs_2, rs_3</math>.

Fatto adunque <math>h^3 = \overline{rn}^3</math>, <math>B'=0</math> ed inoltre <math>A'=B</math>, ovvero <math>A'= - 2B</math>, l’equazione [[#eq2|2]]) diviene nel primo caso:

{{eq|

<math>(rm - rn)(rm + 2 rn)^2=0</math>,|7}} {{Indent|0}} e nel secondo:

{{Indent|0}} Cioè nel primo caso uno de’ tre punti <math>m</math> corrispondenti ad <math>n=(s_1, s_2, s_3)</math> coincide collo stesso <math>n</math>, mentre gli altri due si riuniscono in un sol punto <math>(r_1, r_2, r_3)</math> diverso da <math>n</math>. Nel secondo caso invece, due de’ tre punti <math>m</math> corrispondenti ad <math>n=(s_1, s_2, s_3)</math> cadrebbero in <math>n</math>. Ma nella quistione che ci occupa si verifica il primo caso, non il secondo ([[#143|143]]); ond’è che dobbiamo assumere <math>A'=B</math>, non già <math>A'=-2B</math>.

{{eq|

<math>\overline{rm}^3 + 3rn.\overline{rm}^2 - 4h^3 = 0</math>,|8}}

{{Indent|0}} ove <math>h</math> esprime un coefficiente costante<ref>< I tre punti <math>mm'm''</math> sono i centri armonici (di 3° grado) del punto <math>n</math> rispetto ai quattro punti <math>ss_1s_2s_3</math>.></ref>.

{{Indent|0}} ossia dalla:

{{Indent|0}} dunque entrambi i sistemi di quattro punti <math>ss_1s_2s_3, rr_1r_2r_3</math> sono equianarmonici ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione#27|27]]).

Ne consegue che, se <math>i</math> è un flesso ''reale'' delle cubiche sizigetiche, due de’ quattro vertici <math>r</math> giacenti nella polare armonica <math>I</math> sono reali, gli altri due imaginari ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione#26|26]]). E per la reciprocità già avvertita ([[#141d|141, d]]), due delle quattro rette <math>R</math> (lati de’ trilateri sizigetici) concorrenti in <math>i</math> saranno reali, le altre due immaginarie. Che almeno uno de’ flessi di una cubica sia reale, risulta manifesto dall’essere ''dispari'' il numero totale delle intersezioni della cubica coll’Hessiana.

Sia dunque 1 un flesso reale; e delle quattro rette <math>R</math> ([[#140b|140, b]]), cioè 123, 148, 157, 169, siano reali le prime due, imaginarie coniugate le altre. I quattro flessi 57, 69 saranno necessariamente tutti imaginari, ed invero uno de’ primi due sarà coniugato

<references/>