Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/383: differenze tra le versioni

Analogamente: un'altra curva <math>C_n'</math>, del fascio d'ordine <math>n</math>, sega <math>C_{n+n'}</math> in <math>nn'</math> punti (oltre gli <math>n^2</math> punti-base) e questi insieme agli <math>\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> punti addizionali suddetti determineranno una curva <math>C_{n'}'</math> d'ordine <math>n'</math>.

I due luoghi d'ordine <math>n+n'</math>, <math>C_n + C_{n'}'</math> e <math>C_n' + C_{n'}</math> hanno in comune <math>(n+n')^2</math> punti, de' quali <math>n^2 + 2nn' + \tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> sono in <math>C_{n+n'}</math>. Ma questo numero è eguale a <math>\tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1+(n-1)(n-2)</math> epperò <math>\geq \tfrac{(n+n')(n+n'+3)}{2}-1</math>; dunque ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot#41|41]]) le rimanenti <math>{n'}^2 -\tfrac{(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}</math> intersezioni di <math>C_{n'}</math>, <math>C_{n'}'</math> sono anch'esse in <math>C_{n+n'}</math>, ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d'un fascio d'ordine <math>n'</math>. Così, anche in questo caso, abbiamo in <math>C_{n+n'}</math> due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini <math>n</math>, <math>n'</math>. I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell' uno determina una curva dell' altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data <math>C_{n+n'}</math>. <ref>{{Sc|Chasles}}, ''Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres'' (Comptes rendus, 28 décembre 1857).</ref>

{{§|54b|(b)}} Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d'ordine <math>n+n'</math> ed in essa i punti-base d'un fascio d'ordine <math>n</math>, si possano determinare i punti-base d'un secondo fascio d'ordine <math>n'</math>, projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d'ordine <math>n+n'</math>, gli <math>n^2</math> punti-base d'un fascio di curve d'ordine <math>n</math>.

{{§|55|55}}. In primo luogo osserviamo che dal teorema di {{Sc|Cayley}} ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane#44|44]]) si ricava:

Se una curva d'ordine <math>n+n'</math> contiene <math>n^2- \tfrac{(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}</math> intersezioni di due curve d'ordine <math>n</math>, essa contiene anche tutte le altre. Ossia:

Quando <math>n^2- \tfrac{(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}</math> punti-base d'un fascio d'ordine <math>n</math> giacciono in una curva, d'ordine <math>n+n'</math>, questa contiene anche tutti gli altri.

Il qual teorema suppone manifestamente <math>n-n'-2>0</math> ossia <math>n>n'+2</math>. Sia dunque <math>n>n'+2</math> e supponiamo che sopra una data curva d'ordine <math>n+n'</math> si vogliano prendere <math>n^2</math> punti costituenti la base d'un fascio d'ordine <math>n</math>. Affinchè la curva data contenga gli <math>n^2</math> punti-base, basta che ne contenga <math>n^2- \tfrac{(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}</math>, cioè devono essere sodisfatte altrettante condizioni.

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