Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/379: differenze tra le versioni

Due fasci di curve si diranno ''projettivi'' quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’ altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.

{{§|50|50}}. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine <math>n</math>, l’altro d’ordine <math>n'</math>; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado <math>n</math>, l’altra di grado <math>n'</math>. Queste involuzioni hanno <math>n+n'</math> punti comuni ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell’involuzione#24b|24, b]]); cioè, nella trasversale vi sono <math>n+n'</math> punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò <math>n+n'</math> punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva <math>C_{n+n'}</math> d’ordine <math>n+n'</math>.<ref>Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: {{Sc|Poncelet}}, ''Analyse des transversales'', p. 29.</ref>

Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poiché uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’ altro.<ref><{{Sc|Grassmann}}, ''Die höhere Projectivität in der Ebene'' ({{Sc|Crelle}} t. 42, 1851, p. 202).><br/> {{Sc|Chasles}}, ''Construction de la courbe du 3. ordre etc.'' Comptes rendus, 30 mai 1853). — ''Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc.'' (Comptes rendus, 16 août 1853).<br/>

{{Sc|Jonquières}}, ''Essai sur la génération des courbes etc.'' Paris 1858, p. 6.</ref>

{{§|50a|(a)}} La curva risultante dell’ ordine <math>n+n'</math> può talvolta decomporsi in linee d’ ordine inferiore. Ciò avviene, per esempio, quando le curve corrispondenti de' due fasci dati si incontrano costantemente sopra una curva d'ordine <math>r< n + n'</math>. Allora gli altri punti d'intersezione sono situati in una seconda curva dell' ordine <math>n+n' - r</math>, che insieme colla precedente costituisce il luogo completo d'ordine <math>n + n'</math>, generato dai due fasci.

{{§|50b|(b)}} Questa decomposizione avviene anche quando i due fasci projettivi, supposti dello stesso ordine <math>n</math>, abbiano una curva comune e questa corrisponda a sè medesima. Allora ogni punto di questa curva può risguardarsi come comune a due curve corrispondenti; quindi il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti ne' due fasci sarà, in questo caso, una curva dell' ordine <math>n</math>.

A questa proprietà si può dare anche il seguente enunciato, nel quale tutte le curve nominate s'intendano dell'ordine <math>n</math>:

Se una curva <math>H</math> passa pei punti comuni a due curve <math>U</math>, <math>V</math> e pei punti comuni a due altre curve <math>U'</math>, <math>V'</math>, anche i punti comuni alle curve <math>U</math>, <math>U'</math> insieme coi punti comuni alle <math>V</math>, <math>V'</math>, giaceranno tutti in una stessa curva <math>K</math>.

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