Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/341: differenze tra le versioni
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⚫ | Da ciò consegue che, nello stabilire la projettività fra due forme geometriche, si ponno assumere ad arbitrio tre coppie |
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⚫ | Da ciò consegue che, nello stabilire la projettività fra due forme geometriche, si ponno assumere ad arbitrio tre coppie d’elementi corrispondenti, per es. <math>aa', \, bb', \, cc'</math>. Allora, per ogni altro elemento <math>m</math> dell’una forma, il corrispondente elemento <math>m'</math> dell’altra sarà individuato dalla condizione dell’eguaglianza de’ rapporti anarmonici <math>(a'b'c'm'), \, (abcm)</math>. |
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⚫ | {{§|9|9}}. Supponiamo che due rette punteggiate projettive vengano sovrapposte |
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⚫ | {{§|9|9}}. Supponiamo che due rette punteggiate projettive vengano sovrapposte l’una all’altra; ossia imaginiamo due punteggiate projettive sopra una medesima retta, quali a cagion d’esempio si ottengono segando con una sola trasversale due stelle projettive. La projettività delle due punteggiate è rappresentata dall’equazione [[#eq2|2]]): |
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{{centrato|<math>im.j'm' = k</math>.}} |
{{centrato|<math>im.j'm' = k</math>.}} |
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Per mezzo di essa cerchiamo se vi sia alcun punto <math>m</math> che coincida col suo corrispondente <math>m'</math>. |
Per mezzo di essa cerchiamo se vi sia alcun punto <math>m</math> che coincida col suo corrispondente <math>m'</math>. |
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Se le due punteggiate |
Se le due punteggiate s’imaginano generate dal movimento simultaneo de’ punti corrispondenti <math>m,\, m'</math>, è evidente che questi due punti si moveranno nello stesso senso o in sensi opposti, secondo che la costante <math>k</math> sia negativa o positiva. |
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Sia <math>k>0</math>. In questo caso è manifesto che si può prendere sul prolungamento del segmento <math>j'i\dots</math> un punto e tale che si abbia <math>ie.j'e = k</math>. E se si prenderà sul prolungamento di <math>ij'\dots</math> un punto <math>f</math>, che sia distante da <math>j'</math> quanto <math>e</math> da <math>i</math>, sarà <math>if.j'f=k</math>. Cioè i punti <math>e,\, f</math>, considerati come appartenenti ad una delle due punteggiate, coincidono coi rispettivi corrispondenti. |
Sia <math>k>0</math>. In questo caso è manifesto che si può prendere sul prolungamento del segmento <math>j'i\dots</math> un punto <math>e</math> tale che si abbia <math>ie.j'e = k</math>. E se si prenderà sul prolungamento di <math>ij'\dots</math> un punto <math>f</math>, che sia distante da <math>j'</math> quanto <math>e</math> da <math>i</math>, sarà <math>if.j'f=k</math>. Cioè i punti <math>e,\, f</math>, considerati come appartenenti ad una delle due punteggiate, coincidono coi rispettivi corrispondenti. |
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Ora sia <math>k = -h^2</math>. I punti <math>m,\, m'</math> non potranno, in questo caso, coincidere che entro il segmento <math>ij'</math>. Si tratta adunque di dividere questo segmento in due parti <math>im,\, mj'</math>, il rettangolo delle quali sia <math>h^2</math>. Quindi, se <math>2h<ij'</math>, vi saranno due punti <math>e,\, f</math> sodisfacenti alla questione: essi sono i piedi delle ordinate perpendicolari ad <math>ij'</math> ed eguali ad <math>h</math>, del semicircolo che ha per diametro <math>ij'</math>. Se <math>2h = ij'</math>, non vi sarà che il punto medio di <math>ij'</math> che coincida col proprio corrispondente. Da ultimo, se <math>2h > ij'</math>, la |
Ora sia <math>k = -h^2</math>. I punti <math>m,\, m'</math> non potranno, in questo caso, coincidere che entro il segmento <math>ij'</math>. Si tratta adunque di dividere questo segmento in due parti <math>im,\, mj'</math>, il rettangolo delle quali sia <math>h^2</math>. Quindi, se <math>2h<ij'</math>, vi saranno due punti <math>e,\, f</math> sodisfacenti alla questione: essi sono i piedi delle ordinate perpendicolari ad <math>ij'</math> ed eguali ad <math>h</math>, del semicircolo che ha per diametro <math>ij'</math>. Se <math>2h = ij'</math>, non vi sarà che il punto medio di <math>ij'</math> che coincida col proprio corrispondente. Da ultimo, se <math>2h > ij'</math>, la quistione non ammette soluzione ''reale''. |
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Concludiamo che ''due punteggiate projettive sovrapposte hanno due punti comuni''<ref> |
Concludiamo che ''due punteggiate projettive sovrapposte hanno due punti comuni''<ref>{O punti ''uniti''.}</ref> ''(reali, imaginari o coincidenti), equidistanti dal punto medio del segmento <math>ij'</math>.'' |
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