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prolusione ad un corso di geometria superiore.

posizioni polari reciproche della data, più o meno diverse fra loro, quante sono le differenti coniche che si ponno assumere come direttrici.

La teoria delle polari reciproche si estende allo spazio, pigliando a considerare una superficie di second’ordine. Se per un punto fisso si conduce una trasversale arbitraria che incontri la superficie in due punti e si cerca il coniugato armonico di quello fisso, il luogo di questo quarto punto è un piano che chiamasi piano polare del punto dato (polo).

La superficie sferica poi presenta, nelle figure supplementari, un genere di dualità che non ha riscontro nella geometria piana. La dualità supplementare sferica è certamente la più perfetta, la più semplice e la più elegante che s’incontri nella scienza dell’estensione; la reciprocità vi è assoluta, senz’alcun bisogno di ricorrere a curve direttrici, e la trasformazione si applica colla stessa facilità alle proprietà descrittive, metriche ed angolari.

I due teoremi di Steiner e Chasles, che vi ho dianzi enunciati, hanno i loro analoghi nella geometria solida, benchè questi non presentino, sotto un certo aspetto, la stessa generalità di quelli. Siano date due punteggiate projettive non situate nello stesso piano: quale è la superficie luogo della retta che unisce due punti omologhi? Ovvero siano dati due fasci projettivi di piani: qual è la superficie luogo della retta intersezione di due piani corrispondenti? In entrambi i problemi la superficie richiesta è di second’ordine, cioè un iperboloide ad una falda in generale, ma in casi speciali un paraboloide iperbolico o un cono o un cilindro. Questi teoremi somministrano immediatamente i due sistemi di generatrici rettilinee delle superficie gobbe di second’ordine. Viceversa due generatrici, dello stesso sistema, di una superficie gobba di second’ordine sono divise projettivamente dalle generatrici dell’altro sistema, e con queste danno luogo anche a due fasci projettivi di piani.

L’illustre Chasles ha trovato inoltre che la linea luogo geometrico del punto intersezione di tre piani omologhi in tre fasci projettivi è del terz’ordine a doppia curvatura¹, cioè è l’intersezione di due coni di second’ordine aventi una generatrice rettilinea comune. In virtù del principio di dualità, da questo teorema si conclude quest’altro che il piano determinato da tre punti omologhi in tre punteggiate projettive nello spazio inviluppa una superficie sviluppabile della terza classe (e del quart’ordine), epperò per un altro teorema dello stesso autore, è osculatore di una linea a doppia curvatura del terz’ordine.

Da questi teoremi fondamentali discende immediatamente tutta la teoria delle superficie rigate di second’ordine e delle curve gobbe del terzo.

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1. Compte Rendu, 10 agosto 1857.