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{{RigaIntestazione||{{Sc|prolusione ad un corso di geometria superiore.}}|241|riga=si}}

{{Pt|cipali|principali}} plaghe di cui si compone il vastissimo dominio della nostra scienza, e studiarmi di porgervi un’imagine dell’estensione, della ramificazione, della maestosa bellezza delle sue dottrine. In me non sento altra forza che l’amore alla scienza, ma quest’amore è vivissimo, e me beato se esso mi darà potenza d’infondere in voi, o giovani, quella sete di studii senza la quale nulla si fa di bello e di grande!

Oggetto de’ primi nostri studi saranno le proprietà projettive delle più semplici ''forme geometriche'', quali sono: una serie di punti in linea retta o ''retta punteggiata''; una ''stella'' ossia fascio di rette poste in un piano e passanti per uno stesso punto; un fascio di piani passanti per una stessa retta. Ciascuna di queste forme è il complesso di più ''elementi'' in numero indefinito, soggetti ad una determinata legge: nella prima forma gli elementi sono punti allineati sopra una retta; nella seconda sono rette in un piano incrociantisi in uno stesso punto ''(centro della stella)''; nella terza sono piani vincolati dalla condizione di tagliarsi fra loro lungo una stessa retta ''(asse del fascio)''.

Noi diremo che due ''forme'' sono ''projettive''<ref>{{Sc|{{AutoreCitato|Jakob Steiner|Steiner}}}}, ''Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander'', Berlin 1832.</ref> quando i loro elementi sono collegati da tal legge di corrispondenza, che a ciascun elemento dell’una corrisponda ''un solo'' elemento dell’altra ed a ciascun elemento di questa un solo di quella{{nota separata|Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/495|32}}. Da questa semplice definizione si deduce che, fissati ad arbitrio in due forme tre elementi dell’una e tre elementi dell’altra come corrispondenti, tutto il resto cessa d’essere arbitrario, cioè ad ogni quarto elemento di una forma corrisponderà un ''determinato'' elemento dell’altra. E a questo proposito vi saranno apprese facilissime regole grafiche per costruire, dati elementi sufficienti, una forma projettiva ad una data.

Trarremo dalla data definizione un altro corollario che è della più grande importanza. Supponiamo di avere una retta ''finita'' e in essa o sul suo prolungamento sia fissato un punto; le ''distanze'' di questo dai termini della retta data, prese con opportuni ''segni'', rispondenti al senso di lor direzione, dirannosi i ''segmenti'' in cui la retta è divisa da quel punto. Imaginate ora ''quattro punti in linea retta'', considerati in un certo ordine; il rapporto de’ segmenti che il terzo punto determina sulla retta avente gli estremi ne’ primi due, diviso pel rapporto de’ segmenti individuati nella stessa retta dal quarto punto, è quella espressione che {{Sc|{{AutoreCitato|August Ferdinand Möbius|Möbius}}}} chiamò dapprima ''rapporto di doppia sezione de’ quattro punti dati (ratio bissectionalis)''<ref>{{Sc|{{AutoreCitato|August Ferdinand Möbius|Möbius}}}}, ''Der barycentrische Calcul'', Leipzig 1827, p. 244.</ref>, poi {{Sc|{{AutoreCitato|Jakob Steiner|Steiner}}}} più brevemente {{Pt|''doppio-''|}}

{{rule|4em|l=4em}}<references/>{{PieDiPagina|{{smaller|''Cremona'', tomo I.}}||16}}