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232 sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe.


et coupe les cônes du second ordre qui passent par la cubique suivant des hyperboles.

L’hyperbole parabolique gauche est l’arête de rebroussement d’une surface développable qui est coupée par ses plans tangens suivant des hyperboles, à l’exception d’un seul qui la coupe suivant une parabole. Les centres de ces hyperboles sont sur une autre parabole. Les deux paraboles sont dans un même plan; et ce plan coupe les cônes du second ordre qui passent par la cubique suivant des paraboles.

La parabole gauche a toutes ses asymptotes qui coïncident a l’infini. Les plans osculateurs coupent la développable suivant des paraboles.

14. M. Seydewitz a déjà observé que par une hyperbole gauche passent trois cylindres du second ordre hyperboliques; par une ellipse gauche passe un seul cylindre elliptique; par l’hyperbole parabolique gauche passent deux cylindres, l’un hyperbolique et l’autre parabolique; enfin par la parabole gauche passe un seul cylindre parabolique. Cela nous aidera a énoncer des propositions nouvelles.

Concevons la droite intersection du plan osculateur au point a d’une cubique gauche avec le plan qui coupe cette courbe en a et la touche en b; toute corde de la cubique qui s’appuie à cette droite est rencontrée harmoniquement par une deuxième droite, qui est l’intersection du plan osculateur en b avec le plan sécant en b et tangent en a.

Cette intéressante propriété donne lieu à plusieurs conséquences. Si l’une des deux droites dont il est question ci-dessus tombe à l’infini, la corde est bissectée par l’autre droite. Cela donne lieu au théorème qui suit:

En chaque point d’une parabole gauche on peut mener un plan tangent, qui soit parallèle au cylindre passant par la courbe. Toute corde de celle-ci parallèle a ce plan est divisée en deux parties égales par une droite (diamètre) qui est l’intersection du plan osculateur et du plan sécant au même point et tangent à l’infini. Tous ces diamètres, dont un passe par chaque point de la parabole gauche, sont parallèles à un même plan, savoir à la direction commune des plans tangens a l’infini.

Cette propriété qui, dans la parabole gauche, subsiste pour chacun de ses points, appartient aussi a l’hyperbole et à l’ellipse gauche, mais seulement pour les points (trois ou un seul) ou elles sont rencontrées par le plan des centres des coniques inscrites dans la surface développable dont la courbe gauche est l’arête de rebroussement.

Donc l’ellipse gauche a un diamètre qui rencontre en un même point la courbe et le plan des centres. Le plan qui touche la courbe en ce point et est parallèle au cylindre elliptique passant par celle-ci est aussi parallèle aux cordes divisées en deux parties égales par le diamètre nommé.

L’hyperbole gauche a trois diamètres. Ici il faut remarquer que: à chaque point commun à la cubique et au plan des centres correspond une asymptote de celle-ci ou bien un des trois cylindres hyperboliques. Voilà en quoi consiste cette correspondance: