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| sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. | 227 |
III.
7. On a deux formes projectives: une série de points dans une droite R, et un système de droites génératrices d’un hyperboloïde H. Quelle est la courbe à double courbure osculée par le plan déterminé par deux élémens homologues des formes proposées? Fixons arbitrairement une generatrice S de l’autre système dans l’hyperboloïde; cette génératrice sera divisée par les droites du système donné homographiquement à la droite R. On a donc deux séries projectives de points sur les droites R, S; et on sait que la droite qui joint deux points homologues engendre un hyperboloïde K passant par les droites R et S. Il est d’ailleurs évident que chaque plan individué par deux élémens homologues des formes proposées est tangent aux hyperboloïdes H et K; donc la courbe demandée est osculée par les plans tangens communs à deux hyperboloïdes qui ont une génératrice commune (S). Donc elle est une cubique gauche qui a deux plans osculateurs passant par R. Cette courbe a en outre un plan osculateur passant par chaque génératrice de l’hyperboloïde du système donné, et deux plans osculateurs passant par chaque droite de l’autre système.
8. Soient données de nouveau deux formes projectives, dont l’une soit un faisceau de plans par une droite R, et l’autre un système de génératrices d’un hyperboloïde H. Deux élemens homologues s’entrecoupent en un point, dont on demande de connaître le lieu géométrique. Fixons une génératrice S de l’autre système; cette droite avec les génératrices du système donné donne lieu à un faisceau de plans homographique au faisceau donné. La droite intersection de deux plans homologues de ces faisceaux projectifs engendre un second hyperboloïde K, passant par R, S. On voit aisément que chaque point du lieu demandé est commun aux deux hyperboloïdes; donc ce lieu est la cubique gauche intersection de ces surfaces, qui ont déjà en commun la droite S. La cubique gauche a deux points sur R; un point sur chacune des génératrices données, et deux points sur chacune des droites de l’autre système1.
9. Réciproquement, supposons que l’on ait une cubique gauche et un hyperboloïde touché par tous les plans osculateurs de la courbe. Par chaque génératrice de l’un système, dans l’hyperboloïde, passe un seul plan osculateur de la cubique, et par chaque génératrice de l’autre système passent deux plans osculateurs. Imaginons aussi une droite, intersection de deux plans osculateurs (réels ou imaginaires). Cette droite sera coupée par les plans osculateurs qui passent par les génératrices du second système en deux séries de points en involution. Les plans osculateurs qui passent par les génératrices du premier système forment sur cette même droite une division protective