Metodo per rendere la Geometria indipendente dal principio della sovrapposizione: differenze tra le versioni

Alcuni anni sono fu da me pubblicato con le stampe un picciolo scritto, che ha per titolo: ''de principio superpositionis geometriae non necessario''; d'onde apparisce che la geometria può essere independente da così fatto principio. Il mio metodo è stato da molti uomini intenditissimi esaminato, e per loro attestazione riconosciuto giusto e sicuro. Questo metodo stesso da me ridotto a maggior brevità, facilità e chiarezza ritorna in luce a qualche siasi giovamento o diletto di que', che amano una tal sorta di studj.<br/><br/>

 

 

Se due triangoli ABC, ''a b c'' sono equilateri ed equiangoli tra loro, cioè tali che tutti e tre i lati AB, BC, CA dell'uno sieno uguali a tutti e tre i lati ''a b, b c, c a'', dell'altro, ciascuno a ciascuno, e tutti e tre gli angoli A, B, C sieno uguali a tutti e tre gli angoli ''a, b, c'', compresi da lati uguali, essi triangoli sono totalmente uguali tra loro.

[[Immagine:Metodo per rendere la Geometria indipendente dal principio della sovrapposizioneFig5 pg138.png|center|300px|A destra, fig. 2; a sinistra, fig. 1.]]<br/><br/>

 

 

Se nel diametro AB d'un cerchio si prenda fuori del centro C un punto D, d'onde sieno tirate nel semicerchio alla circonferenza tre rette DE, DF, DG, la retta DE più vicina alla retta DCA, che passa pel centro, sarà maggiore della retta intermedia DF, e questa sarà maggiore della terza DG. ''(fig. 1.)''

Se ciascuno de' lati AB, AC non è minore del lato BC, è cosa evidente, che ambedue quelli insieme sono maggiori di questo. Sia pertanto ciascuno de' lati AB, AC minore del lato BC. Supponiamo che questi due lati si rivolgano intorno a' punti B, C al disotto della base BC, cosicchè ne risultino le rette HB, HC uguali alle AB, AC, ciascuna a ciascuna: dal punto B col raggio BA descrivasi il cerchio ADE, il quale taglierà il lato maggiore BC in un punto D, e passerà pel punto H. Parimente dal punto C col raggio CA descrivasi il cerchio AFG, il quale segherà il suddetto lato maggiore CB in un punto F, e passerà pel medesimo punto H; dunque i due cerchi ADE, AFG s'incontrano insieme in due punti A, H posti di sopra e di sotto della retta BC; perciò debbono di fra loro segarsi in modo, che l'arco ADH del primo cada verso la parte C, e l'arco AFH del secondo cada verso la parte B. Ciò stabilito, perchè la BA è uguale alla BD, e la BD è maggiore della BF, anche la BA sarà maggiore della BF. E perchè la AC è uguale alla CF, sarà la BA insieme con la AC maggiore della BF insieme con la FC, cioè di tutta la retta BC. Adunque ec.<br/>Il celebre Signor Abate {{AutoreCitato|Francesco Venini|Venini}} ha dato le migliori definizioni, che desiderare si possano della linea retta e della linea curva, cioè: la prima è quella che rivolgendosi intorno a due de' suoi punti non chiude spazio; la seconda è quella che rivolgendosi intorno a due de' suoi punti racchiude spazio. Dal che si deduce aperissimamente, che se la retta e la curva hanno gli stessi termini, la prima è più breve della seconda. Con la stessa evidenza si conosce, che se un triangolo si rivolge intorno a un suo lato, questo lato, che nella sua rivoluzione non chiude spazio, è minore degli altri due lati, che rivolgendosi intorno al detto lato chiudono spazio.</ref>, saranno maggiori ancora della retta FC, per essere EC, FC uguali, siccome raggi del medesimo cerchio. Tolta via la retta comune HC, sarà la rimanente EH maggiore della rimanente FH. Presa poscia in comune la retta HD, sarà la EH insieme con la HD, cioè tutta la ED, maggiore delle due FH, HD. Ma queste nel triangolo FHD prese insieme sono maggiori della FD. Con lo stesso raziocinio si dimostra che la FD è maggiore della GD. Dunque la retta ED più vicina alla DCA, che passa pel centro, è maggiore della retta intermedia FD, e questa è maggiore della terza GD.<br/><br/>

 

 

La verità di questo Lemma si dimostra nella stessa maniera, se il punto D sia preso nelle estremità B del diametro AB.<br/><br/>

 

 

Dato un triangolo FCD, il quale abbia due lati FC, CD costanti in lunghezza, e il lato o base FD variabile, se l'angolo FCD divien maggiore o minore, anche la base FD diverrà maggiore o minore; e se la base FD divien maggiore o minore anche l'angolo FCD diverrà maggiore o minore.

''Seconda parte''. Premesse le stesse cose che nella prima, affinchè la base FD divenga maggiore o minore, è necessario che ella insieme col lato o raggio FC si muova intorno alla circonferenza AFD, e vada a terminare, come sopra, a un qualche punto E dell'arco FA, o ad un qualche punto G dell'arco FB. Ma nel primo caso l'angolo FCD diviene maggiore, qual è l'angolo ECD; nel secondo caso divien minore, qual è l'angolo GCD. Dunque se la base FD divien maggiore o minore, anche l'angolo FCD divien maggiore o minore.<br/><br/>

 

 

Dati due triangoli ECD, GCD, i quali abbiano due lati EC, CD uguali a' due lati GC, CD,

# Se la base ED è maggiore della base GD, anche l'angolo ECD sarà maggiore dell'angolo GCD.<br/><br/>

 

 

Se due triangoli ABC, ''abc'' sono equilateri tra loro, cosicchè i tre lati AB, BC, CA sieno uguali a' tre lati ''ab, bc, ca'', ciascuno a ciascuno, essi triangoli sono totalmente uguali. (fig. 2.)<br/><br/>

Dimostro in primo luogo che l'angolo A è uguale all'angolo ''a''. Poichè i due lati AB, AC del triangolo ABC sono uguali ai due lati ''ab, ac'' del triangolo ''abc'', se l'angolo A fosse maggiore o minore dell'angolo ''a'', anche la base BC del primo sarebbe maggiore o minore della base ''bc'' del secondo (''Corol. prop. I n. 1.). Ma la base BC è uguale per ipotesi alla base ''bc''. Dunque anche l'angolo A è uguale all'angolo ''a''. Nella stessa guisa dimostreremo che l'angolo B è uguale all'angolo ''b'', e l'angolo C all'angolo ''c''. Dunque i triangoli ABC ''abc'' che son tra loro equilateri, sono eziandio equiangoli tra loro. E perciò sono totalmente uguali. (''Assioma'').<br/><br/>

 

 

Se due triangoli ABC, ''abc'' hanno due lati AB, AC uguali a due lati ''ab'', ''ac'', e uguali gli angoli A, ''a'' compresi da' lati uguali, essi triangoli sono totalmente uguali.

Essendo uguali i due lati AB, AC a' due lati ''ab, ac'', se la base BC fosse maggiore o minore della base ''bc'', anche l'angolo A sarebbe maggiore o minore dell'angolo ''a (Corol. prop. I. n. 2.)'' Ma l'angolo A per ipotesi è uguale all'angolo ''a''. Dunque anche la base BC è uguale alla base ''bc''. Adunque tutti e tre i lati del triangolo ABC sono uguali a tutti e tre i lati del triangolo ''abc'', ciascuno a ciascuno. Essendo pertanto i detti triangoli equilateri tra loro, sono totalmente uguali ''(Propos. II.)''<br/><br/>

 

 

Tutto il resto della Geometria, a riserva di queste due nostre proposizioni 2 e 3, che corrispondono all'ottava ed alla quarta del primo libro d'{{AutoreCitato|Euclide}}, si trova ben dimostrato comunemente senza il principio della sovrapposizione. Perciò qualora venga accettato e messo in pratica il metodo sovraesposto, la Geometria resta libera e indipendente dal divisato principio<ref>Merita osservazione il modo facile ed elegante, che il nostro metodo somministra per dimostrare la proposizione quinta del libro I d'[[Autore:{{AutoreCitato|Euclide}}. La dimostrazione, che questi ne dà a tenor del suo metodo, quanto è sottile e ingegnosa, altrettanto riesce lunga e scabrosa ad essere ben intesa da' principianti. Ecco la nostra dimostrazione.<br/>In un triangolo equicrure ABC gli angoli ''m'' ''n'' posti sopra la base BC sono uguali. (''Fig. 4.'')<br/><br/>