Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/90

76

teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

coniugati della involuzione sono i due piani osculatori. I fuochi di tutti que’ piani congiunti formano pure una involuzione, i cui elementi auto-coniugati sono i punti di contatto de’ due piani osculatori.

Per avere il punto centrale dell’involuzione de’ fuochi si condurrà per la direttrice il piano parallelo alla focale (retta contenente i fuochi). Questo piano ha il suo fuoco a distanza infinita, quindi il piano che gli è congiunto, ossia coniugato nella involuzione, avrà per fuoco il punto centrale richiesto, e sarà il piano centrale della involuzione di piani.

La cubica gobba ammette due piani osculatori paralleli fra loro, cioè segantisi secondo la retta direttrice posta nel piano all’infinito. Essi ponno quindi risguardarsi come gli elementi auto-coniugati di una involuzione di piani congiunti paralleli. Il piano centrale di questa involuzione avrà per congiunto quello all’infinito, e quindi sarà quello contenente i centri delle coniche secondo cui i piani osculatori della cubica segano la superficie luogo delle sue tangenti.

8.º Per un punto dato nello spazio, di coordinate a : b : c : d, passa una retta appoggiantesi alla cubica in due punti; le sue equazioni sono:

(c² — bd)A — (bc — ad)B + (b² — ac)C = 0,

(c² — bd)B — (bc — ad)C + (b² — ac)D = 0

e pe’ punti comuni alla retta ed alla cubica si ha:

$i_{1}+i_{2}={\frac {bc-ad}{c^{2}-bd}},$          $i_{1}i_{2}={\frac {b^{2}-ac}{c^{2}-bd}}.$

La retta è sempre reale, benchè i due punti possano essere ideali.

In un piano dato qualsivoglia:

lA + mB + nC + hD = 0

esiste una sola retta, comune intersezione di due piani osculatori. Le sue equazioni sono:

(q² — pr)A — 3r(Bq — Cr) = 0,          (q² — pr)D + 3p(Bp — Cq) = 0

avendosi pe’ punti di contatto:

$i_{1}+i_{2}={\frac {q}{p}}={\frac {mn-9hl}{3ln-m^{2}}},$          $i_{1}i_{2}={\frac {r}{p}}={\frac {3hm-n^{2}}{3ln-m^{2}}}.$

La retta è sempre reale, benchè i due piani osculatori possano essere ideali. Ossia: