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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

cubiche poste su di uno stesso iperboloide, ed aventi quattro punti comuni, sono in involuzione (34).

24. Per avere il punto in cui la cubica 8) incontra la generatrice del primo sistema:

A — xB = 0,          C — xD = 0

consideriamo y come incognita nella equazione 11):

$y={\frac {\beta x+kx(\beta -\alpha x)}{\alpha -x(1+k)}}.$

Ora cerchiamo il rapporto anarmonico de’ quattro punti, in cui la medesima generatrice è segata da quattro linee della famiglia 8), corrispondenti a k = k₁, k₂, k₃, k₄. Tale rapporto anarmonico sarà quello de’ quattro piani passanti per gli stessi punti rispettivamente, e per una retta qualunque, per esempio B = C = 0. Il piano passante per questa retta e per uno qualunque di que’ quattro punti è:

Bx — yC = 0

ossia ponendo per y il suo valore:

B(α — x) — βC — k(xB + (β — αx)C) = 0.

Cambiando la cubica gobba cambia soltanto k, quindi il rapporto anarmonico richiesto sarà:

${\frac {(k_{1}-k_{2})(k_{3}-k_{4})}{(k_{1}-k_{3})(k_{2}-k_{4})}}$

quantità indipendente da x. Dunque: il rapporto anarmonico de’ quattro punti in cui quattro cubiche poste su di uno stesso iperboloide e aventi quattro punti comuni incontrano una generatrice di quel sistema, che è intersecato in un solo punto per ogni generatrice, è costante, qualunque sia la generatrice (34).

25. Dati nello spazio sei punti, siano:

A’ = 0,          B’ = 0,          C’ = 0,          D’ = 0

le equazioni delle facce del tetraedro determinate da quattro fra que’ punti; le funzioni A’, B’, C’, D J’ s’intendano moltiplicate per tali costanti che il quinto punto sia rappresentato dalle:

A’ = B’ = C’ = D’

e il sesto punto sia:

${\frac {\mathrm {A} '}{a}}={\frac {\mathrm {B} '}{b}}={\frac {\mathrm {C} '}{c}}={\frac {\mathrm {D} '}{d}}.$