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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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le equazioni di tre piani omologhi in tre fasci omografici. Da queste equazioni eliminando λ si hanno le:

AD — BC = 0,          AF — BE = 0

equazioni di due iperboloidi aventi la generatrice comune A = B = 0. Dunque il punto comune ai tre piani omologhi ha per luogo geometrico la cubica gobba, comune ai due iperboloidi (27).

Ora i due sistemi di generatrici del primo iperboloide sono rappresentabili colle equazioni:

1.º sistema ... A — μC = 0,          B — μD = 0

2.º sistema ... A — λB = 0,          C — λD = 0

e pel secondo iperboloide:

1.º sistema ... A — μ’E = 0,          B — μ’F = 0

2.º sistema ... A — λ’B = 0,          E — λ’F = 0

e si osservi che la generatrice comune A = B = 0 appartiene al primo sistema per entrambi gl’iperboloidi. Se si pone A : B : C : D = ω³ : ω² : ω : 1 nelle equazioni delle generatrici del primo iperboloide, ovvero se si pone A : B : E : F = θ³ : θ² : θ : 1 nelle equazioni delle generatrici del secondo iperboloide, si trova che la cubica gobba incontra in ciascun iperboloide in due punti le generatrici del primo sistema (cioè di quello cui appartiene la generatrice comune), mentre incontra in un sol punto ciascuna generatrice dell’altro sistema (26).

20. Considerando i due iperboloidi:

a (B² — AC) + b (C² — BD) + c (AD — BC) = 0

a’ (B² — AC) + b’ (C² — BD) + c’ (AD — BC) = 0

qualsivogliano fra quelli passanti per la cubica gobba 2), osservo che queste equazioni sono entrambe soddisfatte dalle:

cA — bB + λ(aB — eC) = 0,          cB — bC — λ(cD — aC) = 0

ove sia:

$\lambda ={\frac {bc'-b'c}{ac'-a'c}}$

dunque due iperboloidi passanti per una stessa cubica gobba hanno necessariamente una generatrice comune (25).