Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/60: differenze tra le versioni
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La simmetria di questi valori mostra che anche le rette nelle quali il piano ''w'' = 0 è segato dai piani θ<sub>1</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub>, θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub> sono tangenti alla medesima conica. Ossia: ''se un piano sega una cubica gobba in tre punti, le rette congiungenti questi punti, e le rette secondo le quali il piano è segato dalle facce del tetraedro che ha i vertici in altri quattro punti della medesima cubica gobba, sono tangenti ad una stessa conica''. Di questo teorema è conseguenza una elegante regola enunciata dal sig. {{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}} per costruire per punti la cubica gobba, della quale sono dati sei punti (12). |
La simmetria di questi valori mostra che anche le rette nelle quali il piano ''w'' = 0 è segato dai piani θ<sub>1</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub>, θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub> sono tangenti alla medesima conica. Ossia: ''se un piano sega una cubica gobba in tre punti, le rette congiungenti questi punti, e le rette secondo le quali il piano è segato dalle facce del tetraedro che ha i vertici in altri quattro punti della medesima cubica gobba, sono tangenti ad una stessa conica''. Di questo teorema è conseguenza una elegante regola enunciata dal sig. {{Sc|{{AutoreCitato|Michel Chasles|Chasles}}}} per costruire per punti la cubica gobba, della quale sono dati sei punti (12). |
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10. La conica ora determinata varia nel piano ''w'' = 0 col variare il tetraedro θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub>, mantenendosi però sempre inscritta nel triangolo ''xyz''. È evidente che se si tengono fissi i punti θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> e si fa variare θ<sub>4</sub>, le coniche corrispondenti a tutt’i tetraedri che hanno tre vertici comuni sono inscritte nello stesso quadrilatero. La quarta tangente comune è la retta comune intersezione del piano ''w'' = 0 e del piano θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub>. Questa retta corrisponde al triangolo θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub>. Tenendo fissi i punti θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> e variando θ<sub>3</sub>, le rette corrispondenti agl’infiniti triangoli che hanno due vertici comuni passano per uno stesso punto (θ — θ<sub>1</sub>) (θ — θ<sub>2</sub>) ''x'' = θ<sup>2</sup>''y'' = θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> ''z'' il quale è la traccia della retta θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> sul piano ''w'' = 0. Questo punto corrisponde alla corda θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> della cubica gobba. Se teniam fisso il punto θ<sub>1</sub> e variamo θ<sub>2</sub>, quel punto descriverà la conica: |
{{§|10|10.}} La conica ora determinata varia nel piano ''w'' = 0 col variare il tetraedro θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> θ<sub>4</sub>, mantenendosi però sempre inscritta nel triangolo ''xyz''. È evidente che se si tengono fissi i punti θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub> e si fa variare θ<sub>4</sub>, le coniche corrispondenti a tutt’i tetraedri che hanno tre vertici comuni sono inscritte nello stesso quadrilatero. La quarta tangente comune è la retta comune intersezione del piano ''w'' = 0 e del piano θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub>. Questa retta corrisponde al triangolo θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> θ<sub>3</sub>. Tenendo fissi i punti θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> e variando θ<sub>3</sub>, le rette corrispondenti agl’infiniti triangoli che hanno due vertici comuni passano per uno stesso punto (θ — θ<sub>1</sub>) (θ — θ<sub>2</sub>) ''x'' = θ<sup>2</sup>''y'' = θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> ''z'' il quale è la traccia della retta θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> sul piano ''w'' = 0. Questo punto corrisponde alla corda θ<sub>1</sub> θ<sub>2</sub> della cubica gobba. Se teniam fisso il punto θ<sub>1</sub> e variamo θ<sub>2</sub>, quel punto descriverà la conica: |
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{{Centrato}}θθ<sub>1</sub> ''zy'' — (θ — θ<sub>1</sub>) θ<sub>1</sub> ''xz'' + (θ — θ<sub>1</sub>) θ ''xy'' = 0</div> |
{{Centrato}}θθ<sub>1</sub> ''zy'' — (θ — θ<sub>1</sub>) θ<sub>1</sub> ''xz'' + (θ — θ<sub>1</sub>) θ ''xy'' = 0</div> |
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la quale è la medesima risultante dal segare la superficie [[#eq3|3)]] col piano {{nowrap|''w'' <nowiki>=</nowiki> 0.}} Ossia: ''le coniche risultanti dal segare con un piano qualunque i coni di second’ordine passanti per una cubica gobba sono inviluppate dalla linea del quart’ordine che si ha segando col piano medesimo il fascio delle rette tangenti alla cubica gobba.'' |
la quale è la medesima risultante dal segare la superficie [[#eq3|3)]] col piano {{nowrap|''w'' <nowiki>=</nowiki> 0.}} Ossia: ''le coniche risultanti dal segare con un piano qualunque i coni di second’ordine passanti per una cubica gobba sono inviluppate dalla linea del quart’ordine che si ha segando col piano medesimo il fascio delle rette tangenti alla cubica gobba.'' |
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11. Si consideri il punto dello spazio pel quale passano i tre piani osculatori della cubica gobba: |
{{§|11|11.}} Si consideri il punto dello spazio pel quale passano i tre piani osculatori della cubica gobba: |
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{{Centrato}}A = 0,{{nbsp|10}}D = 0,{{nbsp|10}}A — 3θB + 3θ<sup>2</sup>C — θ<sup>3</sup>D = 0.</div> |
{{Centrato}}A = 0,{{nbsp|10}}D = 0,{{nbsp|10}}A — 3θB + 3θ<sup>2</sup>C — θ<sup>3</sup>D = 0.</div> |
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