Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi: differenze tra le versioni

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§ 2. — Il simbolo [O] leggasi «punto projettivo», o «classe dei punti projettivi» e, od anche «spazio generale» e . Il fatto che la parola «punto» denota qui una classe di enti, ossia che ha valore di nome collettivo, può affermarsi esplicitamente con un primo postulato:<br />
(I) {{Centrato|[O] ε K}} {{A destra|Pp.}}
Con un secondo postulato si dirà poi che questa classe non è ''illusoria'', ossia che contiene almeno un individuo:<br />
(II) {{Centrato|[O] - <nowiki>=</nowiki> ∧}} {{A destra|Pp.}}
Questo ente «punto» non è ''definito'', o (come altri si esprime) è ''definito in sè stesso'' da tutte quelle proprietà che gli verranno attribuite man mano <ref>Ved. BURALI-FORTI «''Logica matematica''» (Milano, Hoepli, 1894), pag. 129. Così fa fatto in m.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I),</ref>. Col postulato seguente s'impone, ad es., che «se ''a'' è un punto, esista ancora un punto diverso da quello»:<br />
(III) {{Centrato|''a'' ε [0].ɔ:[0] - ι''a''.- <nowiki>=</nowiki> ∧}} {{A destra|Pp.}}
Essendo ''a'', ''b'' due punti non coincidenti (ipotesi non assurda in virtù di (I) e (II)), col simbolo ''ab'' si rappresenta un nuovo ente primitivo, a cui si attribuiscono intanto le qualità seguenti:
(IV) {{Centrato|''a'', ''b'' ε [O].''a''- <nowiki>=</nowiki> ''b'': ɔ . ''ab'' ε K}} {{A destra|Pp.}}
(V) {{Centrato|<nowiki> » » </nowiki> ''b'' : ɔ . ''ab'' ɔ [0]}} {{A destra|Pp.}}
 
che si potrebbero entrambe racchiudere nell'unica proposizione ''a'', ''b'' ε [O]. ''a'' - = ''b'' : ɔ . ''ab'' ε K[0] <ref>Così fu fatto in ''m''.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I).</ref> esprimente che • se a , b sono punti distinti, ab è una classe o varietà di punti, ossia una figura Con ciò non è detto ancora che il simbolo ''ab'' rappresenti una figura ''individuata'' mediante ''a'', ''b'': questa ed altre determinazioni del contenuto di «''ab''» risulteranno a poco per volta dai postulati seguenti:
(VI) {{Centrato|''a'', ''b'' ε [0] . ''a'' - = b : ɔ . ''a'' ε ''ab''}} {{A destra|Pp.}}
(VII) {{Centrato| » » : ɔ ''ab'' ɔ ''ba''}} {{A destra|Pp.}}
Cioè «sotto le stesse ipotesi, la figura ''ab'' deve contenere il punto ''a'' ed esser contenuta nella figura ''ba''». Di qui segue immediatamente :
{{Centrato|''a'', ''b'' ε [0] . ''a'' - = b : ɔ . ''ab'' = ''ba''}} {{A destra|Teor.}}
{{Centrato|<nowiki> » » </nowiki> : ɔ . ''b'' ε ''ab''}} {{A destra|Teor.}}
 
Adesso può ''definirsi'', come l'insieme di tutti i possibili enti «''ab''», un nuovo ente «[1]» da chiamarsi «''retta projettiva''»:
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