Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi: differenze tra le versioni

In uno studio recente "''{{TestoCitato|Sui principi che reggono la Geometria di Posizione}}''" <ref>Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno ''m''.1.</ref> ho proposto diciannove postulati atti a fondare l'ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato <ref>In altre due Note, che fan seguito a quella (***Atti di Torino, 1896).</ref> che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione («costruirende Geometrie»), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Qui nulla ho da mutare circa l'indirizzo ivi adottato, che è un indirizzo ''puramente deduttivo'' ed ''astratto'' <ref>Astratto, in quanto prescindo da ogni interpretazione fisica delle premesse, e quindi anche dalla loro evidenza, ed intuitività geometrica: a differenza di un altro indirizzo (*che chiamerei fisico-geometrico) secondo il quale gli enti primitivi e gli assiomi voglion esser desunti dall'osservazione diretta del mondo esterno, e identificati con lo idee che si acquistano por via d'induzione sperimentale da certi determinati oggetti e fatti fisici (PASCH, {{AutoreCitato|Giuseppe Peano|PEANO}}, ...).</ref>; e poco da aggiungere e togliere per passare dal campo delle rette e dei piani projettivi a quello molto più vasto delle forme lineari di n° specie in uno ''spazio generale''; entro un ambiente, cioè, dove esistano forme lineari di specie comunque grande: così che il presente scritto può aversi come appen dice, o complemento, di quello. In particolare nulla è da modificare circa i postulati ''del separarsi'', i quali saranno qui riprodotti (§ 5) senza amplificazione di sorta, rinviandosi per maggiori notizie il lettore alla memoria citata. Dalla quale è sperabile che emerga eziandio la possibilità di provare coi metodi della logica algebrica alcune affermazioni, che i termini del presente articolo non consentono di approfondire quanto sarebbe opportuno.

Circa i seguenti postulati non è detto che siano ''indipendenti'' fra loro, nè ''irreduttibili'': condizioni queste, che toccano quasi alla perfezione ideale; soltanto si afferma che essi ''bastano'' (in un cogli assiomi logici <ref>Ai quali (**seguendo in questo il DEDEKIND ed altri) ascriveremo altresì le proposizioni primitive sul ''numero intero positivo'' — come ad es. il principio d' ''induzione'' (o, piuttosto, di ''deduzione'') completa — poichè non par guari possibile alcuna scienza deduttiva senza il loro concorso. — Questa comunanza di assiomi (è noto che l' ''Analisi pura'' non ha postulati suoi propri, se tali non siano i principi sul ''numero'' (int. pos.) e sull'idea di ''successivo ad un numero'') è una conferma della solidarietà esistente fra le discipline analitiche e geometriche.</ref>, o leggi del pensiero) a sostener l'intero edifizio d'una geometria projettiva astratta degli iperspazi.

Questo ente «punto» non è ''definito'', o (come altri si esprime) è ''definito in sè stesso'' da tutte quelle proprietà che gli verranno attribuite man mano <ref>Ved. BURALI-FORTI «''Logica matematica''» (*Milano, Hoepli, 1894), pag. 129. Così fa fatto in m.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I),</ref>. Col postulato seguente s'impone, ad es., che «se ''a'' è un punto, esista ancora un punto diverso da quello»:<br />

(IV) {{Centrato|''a'', ''b'' ∈ [O].''a''- <nowiki>=</nowiki> ''b'': ɔ . ''ab'' ∈ K}} destra|{{A destra|Pp.}}

(V) {{Centrato| » » ''b'' : ɔ . ''ab'' ɔ [0]}} {{A destra|Pp.}}

che si potrebbero entrambe racchiudere nell'unica proposizione ''a'', ''b'' ∈ [O]. ''a'' - = ''b'' : ɔ . ''ab'' ∈ K[0] <ref>Così fu fatto in ''m''.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (**I).</ref> esprimente che • se a , b sono punti distinti, ab è una classe o varietà di punti, ossia una figura Con ciò non è detto ancora che il simbolo ''ab'' rappresenti una figura ''individuata'' mediante ''a '', ''b '': questa ed altre determinazioni del contenuto di « ''ab ''» risulteranno a poco per volta dai postulati seguenti:

(VI) {{Centrato|''a '', ''b'' e∈ [0] . ''a'' -- = b :o ɔ .ae ''a'' ∈ ''ab''}} {{A destra|Pp.}}

(VII) {{Centrato| » » : oɔ ''ab'' oɔ ''ba''}} {{A destra|Pp.}}

Cioè • «sotto le stesse ipotesi, la figura ''ab'' deve contenere il punto ''a'' ed esser contenuta nella figura ''ba •''». Di qui segue immediatamente :

("") <ref>Parola da me proposta per rendere il tedesco « Schein » nel senso di S TALTDTSTAUTDT.[2] = p e e [1] . a e [O] - r . p = ar