Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi: differenze tra le versioni

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Estratto dalla «'''Rivista di Matematica'''», 6(1896.99), pp. 9-16.
 
 
 
 
 
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§ 2. — Il simbolo [O] leggasi «punto projettivo», o «classe dei punti projettivi» e, od anche «spazio generale» e . Il fatto che la parola «punto» denota qui una classe di enti, ossia che ha valore di nome collettivo, può affermarsi esplicitamente con un primo postulato:<br />
(I) {{Centrato|[O] ∈ K}} {{A destra|Pp.}}
Con un secondo postulato si dirà poi che questa classe non è ''illusoria'', ossia che contiene almeno un individuo:<br />
(II) {{Centrato|[O] - <nowiki>=</nowiki> ∧}} {{A destra|Pp.}}
Questo ente «punto» non è ''definito'', o (come altri si esprime) è ''definito in sè stesso'' da tutte quelle proprietà che gli verranno attribuite man mano (*). Col postulato seguente s'impone, ad es., che «se ''a'' è un punto, esista ancora un punto diverso da quello»:<br />
(III) {{Centrato|''a'' ∈ [0].ɔ:[0] - ιaι''a''.--A <nowiki>=</nowiki> ∧}} {{A destra|Pp.}}
Essendo ''a '', ''b'' due punti non coincidenti (ipotesi non assurda in virtù di (I) e (HII)), col simbolo ''ab'' si rappresenta un nuovo ente primitivo, a cui si attribuiscono intanto le qualità seguenti:
(IV) {{Centrato|''a'', ''b'' ∈ [O].''a''- <nowiki>=</nowiki> ''b'':ɔ.''ab'' ∈ K}} destra|{{A Pp.}}
(IV) a, be [O] abe K Pp.
(V) {{Centrato| » » ''b'':ɔ.''ab''ɔ[0]}} {{A destra|Pp.}}
(V) : o . ab o [0] Pp.
 
che si potrebbero entrambe racchiudere nell'unica proposizione ''a'', ''b'' e [O]. ''a'' - = ''b'':oɔ. ''ab'' e K[0] (**) esprimente che • se a , b sono punti distinti, ab è una classe o varietà di punti, ossia una figura Con ciò non è detto ancora che il simbolo ab rappresenti una figura individuata mediante a , b : questa ed altre determinazioni del contenuto di « ab » risulteranno a poco per volta dai postulati seguenti:
(VI) a ,b e [0].a--b:o.ae ab Pp.
(VII) : o ab o ba Pp.
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(") <ref>Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno m.l.</ref>
("") <ref>In altre due Note, che fan seguito a quella (Atti di Torino, 1896).</ref>
(*) <ref>Astratto, in quanto prescindo da ogni interpretazione fisica delle premesse, e quindi anche dalla loro evidenza, ed intuitività geometrica: a differenza di un altro indirizzo (che chiamerei fisico-geometrico) secondo il quale gli enti primitivi e gli assiomi voglion esser desunti dall'osservazione diretta del mondo esterno, e identificati con lo idee che si acquistano por via d'induzione sperimentale da certi determinati oggetti e fatti fisici (PASCH, {{AutoreCitato|Giuseppe Peano|PEANO}}, ...).</ref>
(") <ref>Ai quali (seguendo in questo il DIUDEKINDDEDEKIND ed altri) ascriveremo altresì le proposizioni primitive sul numero intero positivo — come ad es. il principio d'induzione (o, piuttosto, di deduzione) completa — poichò non par guari possibile alcuna scienza deduttiva senza il loro concorso. — Questa comunanza di assiomi (è noto che l'Analisi pura non ha postulati suoi propri, se tali non siano i principi sul numero (int. pos.) e sull'idea di successivo ad un numero) è una conferma della solidarietà esistente fra le discipline analitiche e geometriche.
(*) <ref>Ved. BURALI-FORTI « Logica matematica s» (Milano, Ho3pliHoepli, 1894), pag. 129. Così fa fatto in m.1, § 2, dove è anche taciuto il postulato (I),</ref>
(") <ref>Questa proposizione, equivalente al prodotto logico di (VII) e (IX), teneva luogo dapprima (m.1, § 2) a questi postulati : la sua scomposizione in (VII) e (IX) trii fa poi suggerita dal sig. Dott. A. PADOA.</ref>
("") <ref>Parola da me proposta per rendere il tedesco « Schein » nel senso di S TALTDT.[2] = p e e [1] . a e [O] - r . p = ar