Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi: differenze tra le versioni

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Estratto dalla «'''Rivista di Matematica'''», 6(1896.99), pp. 9-16.
 
 
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{{Centrato|Un sistema di postulati per la Geometria Projettiva astratta degli iperspazi<br />
''Nota di'' MARIO PIERI}}
 
 
'''§ 1.''' — La Geometria projettiva degli spazi da quante si vogliano dimensioni, intesa come scienza autonoma, rimane tuttavia soggetto di controversia per molti, a cui non sembra che tutti i suoi principi siano affermati con quel grado di chiarezza e di rigore, che si pretende a ragione in ogni ramo di scienza esatta. Una succinta analisi delle premesse, su cui potrebbe logicamente fondarsi una dottrina projettiva degli iperspazi, non è dunque fuor di proposito ; quantunque non manchino lavori di molto pregio volti al medesimo scopo, od aventi un fine prossimo a quello <ref>Ved. p. e. A<small>MODEO</small> "''Quali possono essere i postulati, ecc.''" (Atti dell'Accademia dello Scienze di Torino, 1891). — V<small>ERONESE</small> «''Fondamenti di Geometria a più dimensioni, ecc.'' (Padova, 1891). — F<small>ANO</small> «''Sui postulati fondamentali della Geometria ProjProjettiva, ecc.''» (Giornale di Matematiche, 1891). — E<small>NRIQUES</small> «''Sui fondamenti della Geometria Projettiva''» (Rendic. del R. Istituto Lombardo, 1894).</ref>.
 
In uno studio recente "''{{TestoCitato|Sui principi che reggono la Geometria di Posizione}}''" <ref>Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno ''m''.1.</ref> ho proposto diciannove postulati atti a fondare l'ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato (***) che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione (« costruirende Geometrie »), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Qui nulla ho da mutare circa l'indirizzo ivi adottato, che è un indirizzo puramente deduttivo ed astratto (*); e poco da aggiungere e togliere per passare dal campo delle rette e dei piani projettivi a quello molto più vasto delle forme lineari di n° specie in uno spazio generale; entro un ambiente, cioè, dove esistano forme lineari di specie comunque grande: così che il presente scritto può aversi come appen dice, o complemento, di quello. In particolare nulla è da modificare circa i postulati del separarsi, i quali saranno qui riprodotti (§ 5) senza amplificazione di sorta, rinviandosi per maggiori notizie il lettore alla memoria citata. Dalla quale è sperabile che emerga eziandio la possibilità di provare coi metodi della logica algebrica alcune affermazioni, che i termini del presente articolo non consentono di approfondire quanto sarebbe opportuno.
ettiva, ecc.''» (Giornale di Matematiche, 1891). — E<small>NRIQUES</small> «''Sui fondamenti della Geometria Projettiva''» (Rendic. del R. Istituto Lombardo, 1894).</ref>.
 
In uno studio recente "''Sui principi che reggono la Geometria di Posizione''" <ref>Atti d. Accad. d. Scienze di Torino, 1895. Citerò appresso questa memoria col segno ''m''.1.</ref> ho proposto diciannove postulati atti a fondare l'ordinaria Geometria Projettiva come scienza deduttiva astratta, indipendente da ogni altro corpo di dottrine matematiche o fisiche, e in particolare dagli assiomi, od ipotesi, della Geometria elementare euclidèa; e successivamente ho mostrato (***) che essi sono realmente sufficienti agli scopi della pura Geometria di posizione (« costruirende Geometrie »), poiché se ne deduce la rappresentazione dei punti projettivi mediante coordinate. Qui nulla ho da mutare circa l'indirizzo ivi adottato, che è un indirizzo puramente deduttivo ed astratto (*); e poco da aggiungere e togliere per passare dal campo delle rette e dei piani projettivi a quello molto più vasto delle forme lineari di n° specie in uno spazio generale; entro un ambiente, cioè, dove esistano forme lineari di specie comunque grande: così che il presente scritto può aversi come appen dice, o complemento, di quello. In particolare nulla è da modificare circa i postulati del separarsi, i quali saranno qui riprodotti (§ 5) senza amplificazione di sorta, rinviandosi per maggiori notizie il lettore alla memoria citata. Dalla quale è sperabile che emerga eziandio la possibilità di provare coi metodi della logica algebrica alcune affermazioni, che i termini del presente articolo non consentono di approfondire quanto sarebbe opportuno.
Circa i seguenti postulati non è detto che siano indipendenti fra loro, nè irreduttibili: condizioni queste, che toccano quasi alla perfezione ideale; soltanto si afferma che essi bastano (in un cogli assiomi logici (**), o leggi del pensiero) a sostener l'intero edifizio d'una geometria projettiva astratta degli iperspazi.
 
§ 2. — Il simbolo [O] leggasi «punto projettivo », o «classe dei punti projettivi» e, od anche «spazio generale» e . Il fatto che la parola «punto » denota qui una classe di enti, ossia che ha valore di nome collettivo, può affermarsi esplicitamente con un primo postulato:<br />
(1I) {{Centrato|[O] e K }} {{A destra|Pp.}}
Con un secondo postulato si dirà poi che questa classe non è ''illusoria'', ossia che contiene almeno un individuo:<br />
(II) {{Centrato|[O] - = ∧}} {{A destra|Pp.}}
Questo ente « punto » non è ''definito'', o (come altri si esprime) è ''definito in sè stesso'' da tutte quelle proprietà che gli verranno attribuite man mano (*). Col postulato seguente s'impone, ad es., che «se ''a'' è un punto, esista ancora un punto diverso da quello »:<br />
(III) ae[0].o:[0]-ta.--A Pp.
(III) {{Centrato|''a'' ∈ [0].ɔ:[0] - ιa.--A}} {{A destra|Pp.}}
Essendo a , b due punti non coincidenti (ipotesi non assurda in virtù di (I) e (H)), col simbolo ab si rappresenta un nuovo ente primitivo, a cui si attribuiscono intanto le qualità seguenti:
(IV) a, be [O] abe K Pp.
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Supposto invero n > 1 ed [n — 1] - = e , non sarà assurda l'ipotesi y e[n-1]; e quindi, per il postulato (XI), nemmeno la proposizione a e [O] - y. Di poi, per la definizione (a)(P), y sarà una classe di punti, e tale p. c. anche la sua visuale x = ay presa dal punto a. Esisterà
(') Ved. p. es. BuR.ALD:Foarr, loc. cit., pagg. 100.103 e 126-128.
(**) II segno [n] è tolto da H. SCIIUBERTSCHUBERT : Matti. Annalen, Bd. 26.
(***) BURALI-FORTI, 100. cit., pag. 128. La condizione imposta ad ogni spazio [n] di essere una K[0] giova a che tutti i segni del secondo membro di (B) abbiano nn senso ancorchò resti indeterminato il valore numerico di n; ma essa potrebbe ciò non ostante sopprimersi, dopo di che quel secondo membro avrebbe sempre un significato preciso, quando ad n si dessero succeseivamente i valori 2, 3, 4,_ 7 —
dunque allora un individuo x almeno della classe rappresentata nel secondo membro di (a). D'altra parte si sa già (§ 2) che [1] - A : quindi il teorema, in forza del principio d'induzione completa, dovrà esser vero per qualsivoglia n (*).