Del Vaglio di Eratostene e della illustrazione fattane da Samuele Horsley negli atti della R. Società di Londra: differenze tra le versioni

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Ma il Vaglio a d'Eratostene era affatto un'altra cosa.
 
« L'editore d'Oxford ha annesso alla sua tavola, per ispiegarne l'uso, alcuni passi staccati scelti da lui dal testo di Nicomaco, e dal Commento sopra di questo attribuito a Giovanni Grammatico.... Ma sopra quali principiprincipj e con quale regola debba essere costruitacostrutta quella Tavola, non è ivi spiegato. EÈ chiaro che per ''segnare'' i numeri composti, è necessario conoscere quali siano tali.
E senza una regola per distinguere i numeri primi dai composti, la quale sia indipendente da qualunque tavola in che debbano essere controdistinti da un segno, è impossibile giudicare se la tavola è giusta nella parte che ne sia fatta, e di estenderla più oltre se ciò sia richiesto.
Ora, si è la Regola con che distinguere i numeri primi dai composti , e non già una Tavola costrutta non sappiam come, che fu inventata da EratostcneEratostene, e ad essa l'autore diè il nome di ''Vaglio'' per l'uso suo, e per la natura della operazione, la quale procede (come vedremo) per una graduale eliminazione dei numeri composti dalla serie aritmetica 3, 5, 7, 9 , 11 ecc. continuata all'infinito. Io ho pensato neceasarionecessario di premettere queste riflessioni per rimovere il pregiudizio, il quale, per essere nelle mani di tutti la bella e stimabile edizione di Arato, ho temuto che alcuno aver possa concepito, essere quella male accozzata tavola (''ill-contrived table''), opera inutile di qualche monaco dei secoli barbari, il tutto della invenzione del grande Eratostene, e per giustificar me medesimo da qualunque possibile sospetto di aver tentato di mietere l'altrui seminato. »
 
Quest'ultima accusa io non vorrò muovere al certo al dotto accademico inglese.
Ma non parlando per ora della forza logica del raziocinio da lui qui esposto, non so tacere che egli volea dire ''assurda'', ''ridicola'', ''e praticamente impossibile'' una Tavola che presentasse ''tutti'' i divisori dei numeri.
Ma egli medesimo cogli occhi suoi ha veduta ''fatta'' questa Tavola non fattibile; e piuttosto che ammettere esser fattibilepossibile e possibilefattibile ciò che è stato fatto, crede di trarsi d'impaccio col dire che essa alla fine non è che l'opera di qualche Monaco de' secoli barbari.
 
ConvieneConvien dire che fra i diritti del Clero Anglicano, al quale apparteneva l'Horsley, vi fosse, almeno a' tempi di questo, anche quello di riguardare come non esistente qualunque cosa fosse provenuta dalle mani dei Monaci, se la R. Società di Londra credette di accogliere puramente e semplicemente fra gli atti proprj questa curiosa ragione.
 
Passiamo ora a guardare più da presso l'operazione e la teoria del Vaglio.
In ordine alla quale l'Horsley si prende cura di avvertire ch' ei la esporrà secondo le idee proprie, non tenendosi obbligato ad uniformarle a quelle di Nicomaco, ch' egli è ''è persuaso'' essere erronee in molte parti.
Al greco aritmetico egli concede soltanto alcune osservazioni circa le relazioni de' numeri dispari fra loro, le quali « sono certamente sue proprie, perché prive d'importanza in se medesime e del tutto estranee al proposito. Io ometto (prosegue l'Horsley) tutto questo, ed avendo stabilito ciò che reputo essere stata la genuina teoria del metodo di Eratostene, purgata dalle adulterazioni di Nicomaco, ne deduco una operazione ''di grande semplicità'', che scioglie il problema in quistione ''con meravigliosa agevolezza'', e la quale per essere la più semplice che sembri potere essere prodotta da quella teoria, io non ho veruno scrupolo nell'adottarla come la originale operazione del Vaglio, sebbene dissimile da quella che si trova in Nicomaco. »
 
:::''Quid dignum tanto feret hic promissor hiatu ?''
 
Egli ragiona così :
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Dunque la serie predetta conterrà i numeri primi, ed i loro multipli.
Questi multipli poi si seguono, in questa serie, a distanze regolari; e così si ha il modo di distinguerli facilmente e di levarli via.
 
« Ed in vero fra il 3 ed il suo primiero multiplo 9, si trovano due numeri non multipli di 3.
Fra 9 e il prossimo multiplo di 3, cioè il 15, altri due se ne incontrano non multipli di esso 3.
E di nuovo fra il 515 e l'altro prossimo multiplo di 3, che è 21, cadono altri due numeri non multipli di 3, e così via discorrendo.
Ancora fra 5 e il prossimo suo multiplo 15, stanno quattro numeri non multipli di 5: e così altri quattro si trovano fra, 15 e 25 che è il successivo multiplo di 5, e così seguitando.
Parimente fra ogni pajo di multipli del 7, come si trovano nell'Ordineordine loro naturale in questa serie, si frappongono sei numeri che non sono multipli di 7.
Ed universalmente fra ogni due multipli di un qualunque numero ''n'', come siessi stanno nell'ordine loro naturale nella serie, si tronotrovano ''n''-1 numeri che non sono multipli di ''n''.
 
« Di qui si deriva l'operazione.
I termini tutti che seguono il 3 si contano a tre a tre ed ogni terzo numero si cancella; così rimangono cancellati tutti i multipli di 3.
Il primo numero susseguente al tre, che non sia cancellato, è 5.
Si cancelli il quadrato di 5; e dopo questo ~tondocontando ,per cinque tutti i termini seguenti, si cancelli ogni quinto numero, se non fosse già stato cancellato prima fra i multipli didel 3.
E cosicosì saranno cassati tutti i multipli di 5.
Parimente si cancella il quadrato di 7, e contando a sei a sei i numeri che gli vengon dopo, si cancella ogni settimo numero, che non fosse stato cancellato nelle precedenti cancellazioni..... E così si continua fino a che il primo numero non cancellato che ci si presenta dopo quello i cui multipli sono stati cancellati immediatamente prima, sia tale che il suo quadrato superi l'ultimo e maggior numero al quale sia estesa la serie.
I numeri che rimangono non cancellati sono tutti i numeri primi, eccetto il 2, che si presentano nella naturale progressione dei numeri dall'1 al limite della serie.
Per limite della serie io intendo il numero ultimo e più grande, al quale siasi creduto conveniente di estendere la serie. »
 
Così l'Horsley; al quale non può negarsi essere facile e semplice assai l'espediente di cancellare i numeri composti; e cancellati che siano una volta, non darsene più pensiero nelle successive cancellazioni.
Ma sarà permesso osservare che nè Nicomaco nè [[Autore:Anicio Manlio Torquato Severino Boezio|Boezio]] lasciarono scritto che l'operazione di Eratostene fosse di una ''meravigliosa agevolezza'';, e richiedesse ''poco tempo'' e ''poca fatica''.
E poi ancora, che la meravigliosa facilità di questa operazione è per altro alligata alla condizione che si prenda per limite alla serie un numero non troppo alto.
Chi fosse sì indiscreto o curioso da volere i numeri primi che si trovano fra l'uno e il milione; o anche solo quelli che passino le tre o quattro cifre, potrebbe trovare che non è poi sì lieve la fatica, nè si corto il tempo che vi debba impiegare.
 
Risovveniamoci ancora che l'accademico inglese ha rimproverato a Nicomaco di aver cercata una Tavola senza una regola che servisse antecedentemente a distinguere i numeri che doveano essere contradistinti in essa Tavola; e che ha biasimata e trascurata, come inutile lavoro d'un qualche Monaco del medio evo, la Tavola, che per essere venuta da tali mani egli ha per non fatta e per non fattibile, e assurda e ridicola.
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Questo principio, non invero coi termini dell'Algebra moderna, e così non nominando ''n'', ed ''n''—1 , ma con vocaboli equivalenti, era già formulato da Nicomaco e da Boezio.
 
Questo principio, che pare indubitato essere stata l'anima del metodo d' Eratostene, applichiamolo alla serie dei numeri dispari: ma non al modo dell' Horsley, per cancellare i multipli, e non pensarvi pìùpiù sopra; ma sibbene scrivendo o di sopra o di sotto ad essi li numeri primi che li dividono.
E fatto ciò col primo numero, facciamolo anche col secondo, poi col terzo, poi col quarto, e in somma finchè arriviamo ad un numero il cui multiplo successivo si trovi fuori del limite a cui siasi voluto circoscrivere la serie assunta.