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blema dei principî, come nei Fondamenti. È chiaro anche che gli assiomi devono essere consentiti universalmente, epperciò possiamo ammettere come evidenti e quindi indimostrabili soltanto gli assiomi concessi dal filosofo empirista, pei quali è inutile dare la dimostrazione della loro compatibilità logica. Ma tale dimostrazione è invece necessaria quando si estendono questi stessi assiomi allo spazio illimitato, dappoichè nessuno ha mai osservato nè potrà mai osservare un tale spazio. Ecco perchè non possiamo accettare come assioma suggerito dall’osservazione, quello delle parallele, quando si definiscono queste rette come quelle rette del piano che prolungate indefinitamente non si incontrano mai, perchè nessuno ha mai osservato due tali rette, nè possiamo ammettere come assioma primitivo tratto dall’osservazione quello ad es. che la retta illimitata è un sistema lineare aperto. Ma gli assiomi tratti dalla pura osservazione non bastano per la ricerca geometrica. Diventata la geometria parte della matematica pura, o per meglio dire dell’estensione astratta, ammettiamo poi nella geometria tutte quelle ipotesi o postulati che non si contraddicono fra loro nè agli assiomi premessi; le quali ipotesi o limitano o allargano il campo della geometria, come ad es., i postulati di Archimede, del continuo, degli spazi a più di tre dimensioni, ecc., o servono a scegliere una delle forme possibili determinate da assiomi o da ipotesi premesse, come il postulato delle parallele¹.

Dalle cose dette discende pure che bisogna distinguere lo spazio fisico dallo spazio intuitivo, che è una rappresentazione idealizzata del primo, ed è un’intuizione, e lo spazio intuitivo dallo spazio geometrico astratto, che è un concetto; forme codeste non bene distinte anche da autori eminenti, come da Helmholtz. Lo spazio geometrico astratto è appunto quella parte dell’estensione pura nella quale è rappresentato lo spazio intuitivo, ma che a sua volta non ha per tutte le sue forme una rappresentazione effettiva neppure approssimativa, o non è necessario la abbia nello spazio fisico o intuitivo. Cosicchè non solo l’eguaglianza delle figure geometriche non è necessariamente determinata dal movimento dei corpi rigidi, come riteneva Helmholtz, ma è anzi l’eguaglianza delle figure geometriche (che dipende a sua volta dal concetto logico dell’eguaglianza di due cose distinte) che è necessaria per definire il movimento dei corpi rigidi. Da ciò si ha pure un’altra conseguenza; che la geometria teoretica non è una parte della meccanica, come riteneva il Newton, e non dipende dalla fisica come opinava l’Helmholtz. La distinzione dello spazio fisico dallo spazio geometrico porta con sè dei postulati che sono necessari soltanto per le pratiche applicazioni della geometria, come quello approssimativo del movimento dei corpi rigidi, quello delle tre dimensioni, quello pure d’Archimede, mentre vi sono postulati dello spazio geometrico, come quelli dello spazio generale, del continuo non-archimedeo, che non abbiamo bisogno di ammettere per lo spazio fisico².

1. Ad es. nelle Grundlagen der Geometrie di Hilbert il sistema degli assiomi appare invece più come un sistema di verità astratte arbitrario che di verità fornite in parte dall’esperienza ed in parte quali verità necessarie allo svolgimento logico della geometria.
2. A. Fondamenti di Geom. L’esclusione del movimento dei corpi rigidi dalla definizione dell’eguaglianza delle figure accolta anche da Hilbert (1899) e da altri, fu pure accettata, ed era più difficile, in trattati di geometria elementare dall’A. (1^a ediz. 1897) poi da Ingrami, da Enriques e