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sulle serie a termini positivi

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${\frac {h_{n+1}}{h_{n}}},{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}},\ldots$ in generale saranno finiti e inoltre saranno minori dell'unità; e quindi indicando con $\alpha$ una quantità finita maggiore di tutti questi rapporti, si avrà

${\frac {k_{n}}{h_{n}}}<\alpha R_{n},$

e se ne concluderà che la serie $\sum u_{n}$ sarà divergente se $\lim {\frac {k_{n}}{h_{n}}}$ è differente da zero.

Per questo e per ciò che precede noi possiamo dunque ora enunciare il seguente teorema.

Essendo $k_{n}$ una funzione di $n$ che col crescere di $n$ decresce continuamente ed ha per limite zero, la serie a termini positivi $\sum u_{n}$ sarà convergente se l'espressione

$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}},$

per $n=\infty$, ha un limite differente da zero; e sarà divergente se l'espressione

$m_{n}={\frac {k_{n}}{h_{n}}}$

ha un limite differente da zero¹.

2. Questo criterio lascia il dubbio quando $h_{n}$ ed $m_{n}$ tendono entrambe a zero. È facile però di vedere che per ogni serie $\sum u_{n}$ esistono infinite funzioni $k_{n}$ tali che il criterio riesce decisivo.

Supponiamo infatti dapprima che $\sum u_{n}$ sia convergente; si avrà subito una funzione conveniente $k_{n}$ prendendo $k_{n}=R_{n}$, giacchè, così facendo, si ottiene

$\lim h_{n}=1,\quad \lim m_{n}=0$.

Se poi $\sum u_{n}$ è divergente, si avrà una funzione conveniente $k_{n}$, prendendo

$k_{n}={\frac {1}{S_{n}}},$

1. V. nota in fine.