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APPUNTI DI RELATIVITÀ

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COVARIANZA

Il concetto di invarianza si riferisce al fatto che il modulo del vettore non cambia rispetto al cambiamento del sistema di riferimento. Questo non vale per le leggi fisiche, ma si fa riferimento alla forma covariante. La covarianza di $\omega =\Delta E/\hbar$ e $k=\Delta p/\hbar$ deriva dal fatto che $\Delta E'$ e $\Delta p'$ sono le trasformazioni di Lorentz di $\Delta E$ e $\Delta p$. Ricordiamo che:

$\Delta p=mu\gamma ,\qquad \qquad \qquad \Delta E=mc^{2}(\gamma -1)$.

$\Delta p'=\Gamma \left(\Delta p-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta E\right),\qquad \Delta E'=\Gamma [\Delta E-U\Delta p]$.

Essendo il quadri-momento $\mathbf {P} \left[mu\gamma ;~{\frac {i}{c}}mc^{2}(\gamma -1)\right]$ possiamo scrivere:

$\qquad \mathbf {P} \left(\Delta p;~{\frac {i}{c}}\Delta E\right)$.

$\qquad \mathbf {P'} \left[\Gamma \left(\Delta p-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta E\right);~{\frac {i}{c}}\Gamma (\Delta E-U\Delta p)\right]$.

Le componenti del quadri-momento $\mathbf {P}$ si trasformano esattamente come le quantità $\Delta p$ e $\Delta E$, secondo la forma delle trasformazioni di Lorentz.

Da queste si ottiene il quadrivettore d’onda operazionale:

$\mathbf {P} /\hbar =\mathbf {K} \left(\mathbf {k} ;~{\frac {i}{c}}\omega \right)$.

Per il fotone abbiamo $k_{E}=W/c\hbar$ e $\omega _{E}=W/\hbar$.