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| 220 | intorno ad un’operetta di giovanni ceva. |
in questo modo, avverrà sempre che s’incrocino in uno stesso punto tutte quelle rette ai cui termini appartengono indici che riuniti formino uno stesso aggregato di numeri. Il numero delle rette che s’intersecano in uno stesso punto è eguale a quello de’ numeri ivi riuniti, meno uno. Per es., vi saranno r — 1 rette congiungenti punti i cui indici riuniti conterranno le cifre 1, 2, 3, ... r; queste rette passeranno tutte per uno stesso punto, che verrà rappresentato col simbolo (123...r).
Questo teorema si dimostra facilissimamente imaginando applicate ai vertici della spezzata altrettante forze parallele, le grandezze delle quali abbiano fra loro tali rapporti, che il punto della seconda serie preso su un lato qualunque sia il centro delle due forze applicate ai termini di questo lato.
Secondo teorema. Si uniscano i termini della spezzata, onde risulterà un poligono gobbo di n lati. Unito il punto (12...n) col punto (23...n — 1), la congiungente incontrerà il lato (1)(n) del poligono in un punto (1n). Allora ciascun lato del poligono sarà diviso in due segmenti; il prodotto di quelli fra questi segmenti che non hanno termini comuni sarà eguale al prodotto de’ rimanenti.
Questi due teoremi, de’ quali il secondo è la generalizzazione del secondo elemento di Ceva, sono acconci a rappresentare nella sua vera essenza il metodo statico di lui.
Terzo teorema (di Carnot). Un piano qualunque determina sui lati di un poligono gobbo tali segmenti, che formando i due prodotti de’ segmenti non adiacenti, questi prodotti sono eguali.
Questo teorema, del quale è caso particolarissimo quello di Menelao, è una facile conseguenza de’ due che precedono.
Quarto teorema. Fissando quanti punti si vogliano sulla superficie di una sfera, e congiungendoli fra loro con archi di cerchi massimi, si avrà sulle intersezioni di questi archi un teorema affatto analogo al primo. Basterà che nell’enunciato di questo sostituiscansi alle rette gli archi di cerchi massimi.
Il teorema si dimostra imaginando delle forze applicate al centro della sfera e passanti rispettivamente pe’ punti fissati sulla superficie di questa; indi ragionando sulla composizione di queste forze come si fa nel primo teorema per le forze parallele.
Quinto teorema. Il secondo teorema ha il suo analogo sulla sfera, purchè ai segmenti rettilinei sostituiscansi i seni degli archi di cerchi massimi.
Il sesto teorema è un’immediata conseguenza del quinto elemento di Ceva.
Eccone l’enunciato. I lati di un quadrigono gobbo ABCD (fig. 8.ª) si seghino con un piano qualunque ne’ punti P, M, Q, N. Si tiri una trasversale qualunque M’N’ che incontri le rette AD, BC, PQ; poi si tiri un’altra trasversale qualunque PQ le rette AB, CD, MN. Allora le due trasversali M’N’, PQ s’incontreranno.
