Pagina:Matematica in relax.pdf/136

136 Maurizio Codogno

trovare la risposta; la matematica è sempre a caccia di scorciatoie come questa.

•• ••• ••••• ••••••• ••••• ••• ••

22. La dozzina del panettiere

Innanzitutto è chiaro che se sommiamo o moltiplichiamo per lo stesso numero il peso di tutte le pagnotte, se prima c’era una soluzione continuerà a essere valida, e se non c’era continuerà a non esserci. Possiamo quindi sottrarre a tutte le pagnotte il peso della più leggera, ottenendo così (almeno) una pagnotta che pesa zero grammi; pagnotta poco nutriente ma certo matematicamente valida. Dividiamo ora tutti i nuovi pesi per il loro massimo comun divisore; oltre alla pagnotta che pesa zero grammi ne avremo così almeno una che pesa un numero dispari di grammi. Mettiamo da parte quella pagnotta: visto che le altre dodici possono essere messe in equilibrio, la somma totale dei loro pesi è un numero pari. Ma se ora rimettiamo la pagnotta nel mucchio e togliamo quella senza peso, la nuova dozzina peserà un numero dispari di grammi, e quindi non potrà essere equamente suddivisa in due gruppi da sei.

Post Scriptum

Questo è uno di quei problemi che sembrano ovvi, ma che sono difficili da dimostrare senza l’idea giusta. La parità da sola (un classico, quando ci sono bilance in gioco) non basta perché sui due lati della bilancia c’è comunque un numero pari di pagnotte: la pagnotta senza peso serve proprio per sparigliare il tutto.

Per i curiosi, la tesi è vera anche se i pesi delle pagnotte sono dei numeri reali, e non semplicemente interi (o frazionari, che è poi lo stesso); la dimostrazione richiede però strumenti matematici più complicati, come la teoria delle basi vettoriali.

•• ••• ••••• ••••••• ••••• ••• ••