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capitolo iii - § 9

Si osservi che, se $h$ e $k$ sono due numeri interi, sarà $\varepsilon _{k}=\varepsilon _{h}$ allora ed allora soltanto che:

$\cos {\frac {2h\pi }{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}$,

$\operatorname {sen} {\frac {2h\pi }{n}}=\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$;

il che accade solo quando ${\frac {2k\pi }{n}}$ e ${\frac {2h\pi }{n}}$ differiscono per un multiplo di $2\pi$,

$\left({\frac {2k\pi }{n}}-{\frac {2h\pi }{n}}={\text{ multiplo di }}2\pi \right)$,

ossia quando:

$k-h=$ multiplo di $n$;

e però, dando a $k$ gli $n$ valori 0, 1, 2, .....,$n-2$, $n-1$, si otterranno radici distinte, mentre i valori $n$, $n+1$,.....,$2n-1$ di $k$ riprodurranno le stesse radici nello stesso ordine, e così via periodicamente. Del pari, dando a $k$ i valori $-1$,$-2$, ....., $-n$, si riprodurranno le stesse radici in ordine inverso, e così via periodicamente.

Dunque: Un numero reale o complesso ha n radici ${\text{n}}^{\text{esime}}$ fra reali e complesse, che si ottengono moltiplicando una di esse per ciascuno dei numeri $\varepsilon _{k}$, ossia per ciascuna delle radici ${\text{n}}^{\text{esime}}$ di 1. Infatti supponendo $x=1$, cioò $\rho =1$ e $\theta =0$, $x^{\frac {1}{n}}$ si riduce ad $\varepsilon _{k}$.

La formola che ci dà i numeri $\varepsilon _{k}$, ossia le $n$ radici $n^{esime}$ dell’unità, è

$\varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$,

dove basta dare a $k$ gli $n$ valori 0, 1, 2, ....., $n-1$.

Questa formola mostra che i punti corrispondenti alle $n$ radici $n^{esime}$ dell’unità sono distribuiti sulla circonferenza avente l’origine per centro e per raggio l’unità, e dividono la circonferenza in $n$ parti eguali; vale a dire tali punti sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in essa.

Basta infatti osservare che i numeri $\varepsilon _{0}=\varepsilon _{n}$, $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, ....., $\varepsilon _{n-1}$ hanno tutti per modulo l’unità, e che l’argomento di uno qualunque di essi differisce dall’argomento del suo successivo per un angolo uguale a ${\frac {2\pi }{n}}$ radianti, cioè all’$n^{esima}$ parte di 360° ($2\pi$ radianti).