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capitolo iii - § 9

$OA_{1}$, $A_{1}A_{3}$. Poichè $OA_{2}$, ed $A_{1}A_{3}$ sono segmenti uguali ed ugualmente orientati, la proiezione di $A_{1}A_{3}$ è uguale a quella di $OA_{2}$; e quindi l’ascissa di $A_{3}$ uguaglia la somma delle proiezioni di $OA_{1}$, $OA_{2}$ sopra $Ox$, ossia la somma $a_{1}+a_{2}$, delle ascisse $a_{1}$, $a_{2}$ di $A_{1}$, $A_{2}$: in modo simile si prova che l’ordinata di $A_{3}$ è $b_{1}+b_{2}$.

Il lato $OA_{3}$ del triangolo $OA_{1}A_{3}$ è minore od uguale alla somma $OA_{1}+A_{1}A_{3}$ (l’uguaglianza avviene solo se il punto $A_{1}$ appartiene al segmento $OA_{3}$). Ma poichè $A_{1}A_{3}=OA_{2}$ ed i segmenti $OA_{1}$, $OA_{2}$, $OA_{3}$ sono i moduli dei numeri complessi dati e della loro somma, avremo che: Il modulo della somma di due (o più) numeri non supera la somma dei moduli, non è inferiore alla differenza dei moduli. Questo teorema è la generalizzazione di un teorema già dato per i numeri reali.

$\delta$) Se $n$ è un intero positivo, con $x^{n}$ indicheremo, anche se $x$ è complesso, il prodotto di $n$ fattori uguali ad $x$ (ponendo poi $x^{0}=1$ se $x\neq 0$, e $x^{1}=x$) e con $x^{-n}$ il quoziente $\textstyle {\frac {1}{x^{n}}}$ (se $x\neq 0$). Se $m$ è intero, il modulo di $x^{m}$ vale $|x|^{m}$ (cioè il modulo della $x$ innalzato alla $m^{esima}$ potenza); e l’argomento di ${\text{x}}^{\text{m}}$ vale il prodotto di m per l’argomento della x.

Sia $P(z)$ un polinomio nella $z$ e precisamente

$P(z)=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\dotsb +b_{m}z^{m}$ (le $b$ numeri non tutti nulli).

Sia $b_{h}$ la prima delle $b$ differente da zero. Sarà

$P(z)=1+b_{h}z^{h}+[b_{h}z^{h}]z\left({\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}+{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}z+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{h}}}z^{m-h-1}\right)$.

Sia $A$ la massima delle $\left|{\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}\right|$, $\left|{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}\right|$, ....., $\left|{\frac {b_{m}}{b_{h}}}\right|$. Siano $r$, $\theta$ modulo e argomento di $b_{h}$ e siano $\rho$, $\delta$ modulo e argomento della $z$. Sarà

$b_{h}z^{h}=r\rho |\cos(\theta +h\delta )+i\operatorname {sen}(\theta +h\delta )|$,

cosicchè $b_{h}z^{h}$ sarà un numero reale negativo, se $\theta +h\delta =\pi$, cioè se $\delta ={\frac {\pi -\theta }{h}}$.

Sarà in tale ipotesi

$|P(z)|\leq |1+b_{h}z^{h}|+|b_{h}z^{h}||z|\left|{\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}+{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}z+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{h}}}z^{m-h-1}\right|$

$|P(z)|\leq |1-r\rho ^{h}|+r\rho ^{h+1}A(1+\rho +\rho ^{2}+\dotsb +\rho ^{m-h-1})$

$|P(z)|\leq |1-r\rho ^{h}|+Ar{\frac {\rho ^{h+1}(1-\rho ^{m-h})}{1-\rho }}$.

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aventi la direzione dell’asse delle $x$ (in un verso o nell’altro), così i numeri complessi $x+iy$ possono servire a definire (e potremmo forse dire, ampliando il significato della parola, a misurare) le forze uscenti da un punto $O$ e poste nel piano $xy$, in guisa che alla forza risultante di due o più forze date corrisponda il numero complesso somma dei numeri complessi corrispondenti alle singole forze componenti. I numeri complessi trovano importantissime applicazioni nello studio delle correnti alternate: per esempio alle estensioni delle leggi di Ohm e di Kirchhoff.