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i numeri complessi

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I numeri $\rho$ e $\theta$ si dicono rispettivamente il modulo e l'argomento di $a+ib$.

Se $a+ib=0$, allora soltanto è anche $\rho =0$ e l'argomento $\theta$ è completamente indeterminato; il modulo di ogni altro numero $a+ib$ è positivo e l'argomento è determinato a meno di multipli di $2\pi$. L'argomento di un numero reale vale zero oppure $\pi$, secondo che il numero è positivo, o negativo. Il suo modulo coincide col valore assoluto. Pertanto, per ragioni di analogia, se $z$ è un qualsiasi numero anche complesso, con $|z|$ se ne indica il modulo.

Due numeri immaginari coniugati hanno lo stesso modulo ed hanno argomenti uguali, ma di segno opposto.

Il prodotto di due numeri complessi

$\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta ),$

$\rho '(\cos \theta '+i\operatorname {sen} \theta ')$

uguaglia:

$\rho \rho '(\cos \theta \cos \theta '-\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \theta ')+i\rho \rho '(\cos \theta \operatorname {sen} \theta '+\operatorname {sen} \theta \cos \theta ')=$

$=\rho \rho '\left\{\cos(\theta +\theta ')+i\operatorname {sen}(\theta +\theta ')\right\}$.

Se ne deduce facilmente che:

Il prodotto di due o più numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

Ne segue che: Il quoziente di due numeri complessi (di cui il divisore sia differente da zero), ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.

Fig. 9.

$\gamma$) Siano $a_{1}+ib_{1}$, $a_{2}+ib_{2}$ due numeri complessi, ne siano $A_{1}$, $A_{2}$ i punti immagine, sia $A_{3}$ il quarto vertice del parallelogramma di cui $A_{1}$, $A_{2}$ sono vertici opposti e l’origine $O$ è un terzo vertice; dico che $A_{3}$ è il punto immagine del numero somma dei numeri $a_{1}+ib_{1}$, $a_{2}+ib_{2}$ (figura 9)¹. Infatti l’ascissa di $A_{3}$; uguaglia la proiezione di $OA_{3}$ sopra $Ox$, ossia la somma delle proiezioni di

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1. Se noi consideriamo un numero complesso come definente la forza rappresentata dal segmento che congiunge l’origine $O$ al punto $A$ immagine del numero complesso, si deduce dall’enunciato del testo che l’operazione di somma di due numeri complessi corrisponde a trovare la risultante delle due forze corrispondenti. Come i numeri reali $x$ servono a misurare le forze uscenti da un punto e

3 — G. Fubini, Analisi matematica.