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capitolo iii - § 9

Con questi successivi ampliamenti si era risoluto completamente il problema della misura delle grandezze (confronta i Capitoli 1° e 2°), si era resa possibile ogni sottrazione, ogni divisione per un numero non nullo, ogni estrazione di radice da un numero positivo, eccetera.

Mentre si è così ampliato assai il campo delle operazioni eseguibili, sono rimaste alcune operazioni che non sono eseguibili, nonostante l’avvenuto ampliamento del concetto di numero: l’estrazione di radice di indice pari da un numero negativo, la determinazione del logaritmo di un numero negativo, eccetera. A questo inconveniente si ripara estendendo ancora il concetto di numero. I nuovi numeri che noi introdurremo, sono però completamente inutili per il problema della misura delle grandezze, il quale è già stato completamente risoluto dai numeri già noti dalle matematiche elementari e che noi abbiamo chiamato numeri reali.

Noi diremo numero complesso, ed indicheremo con $(a,b)$ una coppia di numeri reali $a$, $b$, che si seguano nell’ordine ora scritto.

Due numeri complessi $(a,b)$ ed $(a',b')$ si diranno uguali allora soltanto che $a=a'$, $b=b'$.

Il numero complesso $(a,0)$ s’intenderà come uguale al numero reale $a$¹.

Il numero complesso $(0,b)$ si dirà puramente immaginario e s’indicherà con $ib$, indicando poi col solo simbolo $i$ il numero $(0,1)$, che chiameremo l’unità immaginaria.

Due numeri $(a,b)$ ed $(a,-b)$ si diranno complessi coniugati.

Somma dei numeri complessi $(a,b)$, $(a',b')$ si chiamerà il numero complesso $(a+a',b+b')$; questa definizione non contrasta con quella adottata per i numeri reali. Infatti, se $(a,b)$ e $(a',b')$ sono reali, ossia se $b=b'=0$, la loro somma (nel senso testè definito) è proprio uguale ad $(a+a',0)$, cioè ad $a+a'$. Si potrà perciò porre $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ ed in particolare $(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+ib$. Perciò di solito il numero complesso $(a,b)$ si indica con $a+ib$.

La nostra definizione di somma di due numeri complessi si può quindi anche enunciare nel modo seguente: la somma dei numeri $a+ib$, $a'+ib'$ uguaglia $(a+a')+i(b+b')$.

La somma di due numeri $a+ib$, $a-ib$ immaginari coniugati è il numero reale $2a$.

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1. Ciò equivale a convenire che un numero reale $a$ si possa indicare col nuovo simbolo $(a,0)$; convenzione ben lecita, perchè $(a,0)$ è un simbolo affatto nuovo.