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teoria generale

$={\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$ , ed ${\frac {H}{I}}$ sarà $={\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$ ; adunque per le definizioni X, e XI si avrà ${\frac {F}{G}}={\frac {H}{I}}$ .

Altra dimostrazione di questo corollario. — Per l'ipotesi ${\frac {F}{G}}$ è uguale ad ${\frac {A}{B}}$ , ed ${\frac {A}{B}}$ è uguale a ${\frac {C}{D}}$ , adunque pel III punto del corollario precedente ${\frac {F}{G}}$ è uguale a ${\frac {C}{D}}$ .

II. Nel primo punto di questa dimostrazione si è provato che ${\frac {F}{G}}$ è uguale ad ${\frac {C}{D}}$ ; ma per l'ipotesi ${\frac {H}{I}}$ è uguale a ${\frac {C}{D}}$ ; adunque per I punto del corollario antecedente ${\frac {F}{G}}={\frac {H}{I}}$ .

Corollario XIII. — Dinotino $F$ , e $G$ fue grandezze anche di specie diversa, ed $L$ qualunque numero; io dico, che ${\frac {LF}{F}}$ è uguale ad ${\frac {LG}{G}}$ .

Imperocchè chiamando $y$ , ed $y_{0}$ qualsivoglia aliquota simile delle rispettive grandezze $F$ , e $G$ , ed $n$ la quantità di volte, che dette aliquote sono contenute rispettivamente in $F$ , e $G$ , sarà $F=ny,G=ny_{0}$ , e la proporzionalità da provarsi ${\frac {LF}{F}}={\frac {LG}{G}}$ potrà così rappresentarsi ${\frac {Lny}{ny}}={\frac {Lny_{0}}{ny_{0}}}$ , cioè ${\frac {Ln(y)}{ny}}={\frac {Ln(y_{0})}{ny_{0}}}$ , la qual'espressione amnifesta chiaramente la sussistenza della proporzionalità suddetta.

Scolio. — Dal presente corollario XIII nasce il seguente

Teorema. — Qualsisia tutto sta a qualunque sia aliquota, come qualsivoglia altro tutto alla sua aliquota simile:

I due tutti possono essere non omogenei tra loro.

Dimostrazione. — Chiamando $A$ il primo tutto, ed $F$ qualunque sua aliquota, come pure $L$ il numero delle volte, che detta aliquota entra nel medesimo tutto, sarà $LF$ eguale ad $A$ ; chiamando poi $B$ il secondo tutto, e $G$ la sua aliquota simile, sarà $LG$ eguale a $B$ ; ma pel presente corollario XIII si ha $LF.F::LG.G$ ; adunque se in questa proporzionalità si sostituisce $A$ in luogo di $LF$ , e $B$ in cambio di $LG$ , si avrà pel corollario IX de' principj $A.F::B.G$ ; il che doveva dimostrarsi.