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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

Tesi III: due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli n_i sono congruenti tra loro anche modulo $N(v\equiv z({\bmod {n}}_{i})\quad \forall i=1\ldots k\quad \Leftrightarrow \quad v\equiv z({\bmod {N}}))$ . Se gli interi non sono coprimi a due a due il teorema vale con un’ipotesi in più:

Ipotesi: Siano n₁, n₂,…, n_k degli interi positivi, di massimo comun divisore D e minimo comune multiplo M e a₁, a₂,…, a_k altrettanti interi tali che ciascuno di loro sia congruente con tutti gli altri modulo D (cioè $a_{i}\equiv a_{j}({\bmod {D}})\quad \forall i,j=1,\ldots k)$

allora

Tesi I': esiste un intero x tale che:

$x\equiv a_{1}({\bmod {n}}_{1}),\ x\equiv a_{2}({\bmod {n}}_{2}),\ \ldots \ x\equiv a_{k}({\bmod {n}}_{k})$ .

Tesi II': due interi b e c che soddisfano quanto affermato per x nella I Tesi sono congruenti tra loro modulo M (in formule: $b\equiv c({\bmod {M}})$ ).

Tesi III': due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli n_i sono congruenti tra loro anche modulo M $M(v\equiv z({\bmod {n}}_{i})\quad \forall i=1\ldots k\quad \Leftrightarrow \quad v\equiv z({\bmod {M}}))$ .

Il teorema si può estendere agli ideali principali in anelli commutativi ed è usato nel calcolo di numeri primi molto grandi che a loro volta trovano notevoli applicazioni tecnologiche in crittografia.

Scheda

Due problemi del Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suanjing)

I) Oltre il cancello di una città vedi 9 aiuole, in ogni aiuola 9 alberi, in ogni albero 9 rami, in ogni ramo 9 nidi, in ogni nido 9 uccelli ed ogni uccello ha 9 pulcini, ogni pulcino 9 piume ed ogni piuma 9 colori. Quanti esemplari di ogni cosa vedi?

Soluzione: dati i numeri alti che si raggiungono presto non e conveniente tracciare un diagramma ad albero. Per ogni tipo di oggetto occorre di moltiplicare per 9 gli oggetti del tipo precedente.

       1 aiuole 9
       2 alberi 81
       3 rami 729
       4 nidi 6.561
       5 uccelli 59.049
       6 pulcini 531.441
       7 piume 4.782.969
       8 colori 43.046.721

Se si fosse interessati solo ad un genere e non si volessero calcolare tutti i precedenti basta elevare 9 al numero d’ordine del genere in questione nella tabella precedente: n_i = 9ⁱ Problemi analoghi compaiono nella tradizione europea nel X secolo.