Pagina:Cinesi, scuola e matematica.pdf/51

Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

introdotte è quella di una griglia rettangolare graduata per riprodurre le distanze in scala sulle mappe. Liú Huī si interessò anche di problemi ingegneristici ed idraulici. Espresse tutti i suoi risultati in forma di frazioni decimali, sempre completi di unità di misura. Un suo commentatore ne calcolò i valori decimali nel XIII secolo.

Scheda

Problema dal Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng)

Enunciato e soluzione in forma moderna

Guardando un’isola nel mare, pianta due pali della stessa altezza, 3 piedi (掌 zhăng), distanti tra loro 1.000 passi (步 bù) in modo che siano allineati con l’isola. Spostati di 123 passi dal palo più vicino all’isola lungo la retta che congiunge i piedi dei due pali e guarda il punto più elevato dell’isola: la punta del palo coincide con quel punto. Spostandoti indietro di 127 passi dal palo più lontano dall’isola osserva che il suo punto più elevato coincide con la punta di questo palo. Qual è allora l’altezza dell’isola e quanto dista dal palo più vicino?

Soluzione: la situazione può essere riassunta nel disegno qui a lato, che ricorda un’illustrazione del testo originale. I triangoli ABE ed HCE sono simili e così pure i triangoli ABF e GDF. Triangoli simili hanno eguali rapporti tra lati corrispondenti, dunque: ${\frac {AB}{BE}}={\frac {HC}{CE}}$ e ${\frac {AB}{BF}}={\frac {GD}{DF}}$ da cui la coppia di eguaglianze: $AB={\frac {HC}{CE}}\times BE$ e $AB={\frac {GD}{DF}}\times BF$. Esse hanno un membro uguale e dunque si possono confrontare: ${\frac {HC}{CE}}\times BE={\frac {GD}{DF}}\times BF$ . Ricordando che i due pali hanno la stessa altezza (HC = GD) si ha: ${\frac {HC}{CE}}\times BE={\frac {HC}{DF}}\times BF\Rightarrow {\frac {BE}{CE}}={\frac {BF}{DF}}$. Osservando il disegno o ricordando la costruzione sappiamo che: BE = BD + CE e, BF = BC + CD + DF, da cui: ${\frac {BC+CE}{CE}}={\frac {BC+CD+DF}{DF}}\Rightarrow {\frac {BC}{CE}}={\frac {BC+CD}{DF}}$ in cui si è fatto sparire un 1 in ambo i membri; da ciò, con qualche passaggio: $BC={\frac {CD\times CE}{DF-CE}}$. Ora a secondo membro compaiono solo lunghezze note. Per fare i calcoli si osservi che 1 zhăng = 10 chǐ (尺 pari a circa 33 cm) e 1 bù = 6 chǐ, quindi 1 zhăng =³/₅ bù: sarà più comodo mettere tutte le misure note in chǐ: HC = GD = 30 chǐ, CD = 6.000 chǐ, CE =738 chǐ, DF = 762 chǐ. La distanza tra il primo palo e l’isola è $BC={\frac {6.000\times 768}{762-738}}$ chǐ = 102