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Il pallottoliere cinese (suànpán 算盘)

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4.3 Il pallottoliere cinese ( suànpán 算盘)

Quest’altro strumento di calcolo tipico della cultura matematica cinese funziona grazie ad un rigoroso rispetto del principio posizionale di rappresentazione. Citato in fonti scritte almeno dal II secolo E.v. si diffuse inizialmente tra i mercanti ed i contabili di estrazione popolare fino a che nel XIII secolo venne adottato anche nei consessi di ricerca e soppiantò le bacchette da calcolo. Il pallottoliere ebbe uno straordinario successo in tutta l’Asia centrale ed orientale e ne furono elaborate moltissime versioni nei diversi Paesi. È tuttora usato e studiato sebbene negli ultimi venti anni i bassi costi e la grande praticità delle macchinette calcolatrici tascabili vadano ridimensionando la sua popolarità. Le cassiere dei grandi magazzini cinesi e giapponesi lo hanno avuto a disposizione accanto al registratore di cassa elettronico sino a non molto tempo fa.

Cinesi, scuola e matematica Pall 84 1.svg
Il suànpán (算盘) storico e costituito da un telaio rettangolare suddiviso in due parti da un setto perpendicolarmente al quale sono infilate diverse stecche (normalmente non meno di 7); su ognuna scorrono delle palline in numero di 5 da una parte e 2 dall’altra. La presenza del setto e delle due palline nell’apposito settore sono le principali differenze rispetto ad altri tipi di pallottolieri tipici di altre tradizioni culturali come lo счёты (scjoty) russo (che ha solo 5 palline in un telaio indiviso) od il soroban (算盤, そろばん) giapponese (che ha 4 palline da una parte e 1 dall’altra). L’abacus romano, fatto di solchi nella terra in cui scorrevano i calculi, presentava varie versioni, con o senza divisione e con diverse distribuzioni di palline, tra cui una uguale a quella cinese. Le tecniche d’uso e gli algoritmi di calcolo rispettivi possono dunque variare un poco.
4.3.1 Rappresentazione di numeri

Il pallottoliere cinese può rappresentare i numeri interi in diverse basi, tra 10 e 16, quest’ultima tradizionalmente assai popolare a causa delle suddivisioni di antichi sistemi di misura di peso in uso nei mercati. Esaminiamo qui solo la rappresentazione decimale, che consente anche l’espressione di alcuni numeri razionali. La figura precedente mostra come si presenta il pallottoliere in posizione di “riposo”, quando cioè non rappresenta alcun numero naturale ovvero, con una piccola forzatura [p. 85 modifica]interpretativa, rappresenta 0. Tutte le palline sono dalla parte opposta al setto. Per contare si spostano le palline verso il setto.

Le 5 palline del settore inferiore, dette di terra o d’acqua, valgono una unità del valore corrispondente all’ordine di grandezza rappresentato dalla stecca in cui sono infilate, mentre le 2 del settore superiore, dette di cielo, ne valgono cinque. La rappresentazione si basa dunque su di un sistema bi-quinario. L’intero 27 verrà rappresentato con due palline di terra della stecca di ordine 10, una di cielo e due di terra della stecca di ordine 1 cioè: 27=2×10+1×5+2.

Gli ordini di grandezza crescono da destra a sinistra partendo dalle unità ovvero, in casi specifici ed a seconda delle necessità d’uso, da un ordine minore, sempre il più piccolo cui si è interessati.

Quindi ad esempio 0,027=2ײ+(1×5+2)׳.

Cinesi, scuola e matematica Pall 85 fig1.svg Cinesi, scuola e matematica Pall 85 2 fig2.svg

Alcune regole di gestione dei sinonimi garantiscono l’univocità della rappresentazione. Ad esempio alla fine di un calcolo non è ammesso che tutte le 5 palline di terra siano alzate al setto: se ciò dovesse capitare le si raccoglie al bordo inferiore e si abbassa al setto una pallina di cielo nella stessa stecca. Così ugualmente non si ammettono al setto due palline di cielo, ma le si alza al bordo superiore e si alza al setto una di terra dell’ordine successivo, cioè della stecca subito a destra.

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Cinesi, scuola e matematica Pall 87 1.svg Cinesi, scuola e matematica Pall 87 2.svg


4.3.2 Algoritmi

Come ci si può aspettare, data l’alta diffusione della strumento da epoche remote, gli algoritmi ed i metodi con cui lo si può usare sono moltissimi. Qui vediamo solo i più semplici segnalando pero le grandi capacità del pallottoliere nello sviluppo dell’intelligenza e le notevoli possibilità creative che esso offre per adattarne gli algoritmi a calcoli di ambiti particolari. In sitografia sono citate fonti su possibili attività didattiche a questo riguardo.

Il principio generale da seguire nella somma di due numeri è quello di rappresentarne uno secondo le regole date e poi spostare verso il setto le palline necessarie a rappresentare l’altro sulle stesse bacchette, operando i necessari riporti su quelle successive.

Cinesi, scuola e matematica Pall 87 3.svg Cinesi, scuola e matematica Pall 87 4.svg
6+2=8

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Cinesi, scuola e matematica Pall 87 3.svg Cinesi scuola e matematica Pall 88 2.svg Cinesi scuola e matematica Pall 88 3.svg

6+4=10

Cinesi scuola e matematica Pall 88 4.svg Cinesi scuola e matematica Pall 88 5.svg Cinesi scuola e matematica Pall 88 6.svg

40+12=52

Tenendo conto dei riporti le palline da spostare al setto ordine per ordine sono riassunte nella seguente tabella, adattamento da (Fernandes, 2003).

numeri al I addendo numeri al II addendo palline di terra stessa stecca palline di cielo stessa stecca palline di terra stecca successiva
0 1 2 3 1 +1
4 1 -4 +1
5 6 7 8 1 +1
9 1 -4 -1 1
0 1 2 2 +2
3 4 2 -3 +1
5 6 7 2 +2
8 2 -3 -1 +1
9 2 -3 -1 1
0 1 3 +3
2 3 3 -2 +1
4 3 -2 +1
5 6 3 +3
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7 3 -2 -1 +1
8 9 3 -2 -1 +1
0 4 +4
1 2 3 4 4 -1 +1
5 4 +4
6 7 8 9 4 -1 -1 +1
0 1 2 3 4 5 +1
5 6 7 8 9 5 -1 +1
0 1 2 3 6 +1 +1
4 6 -4 +1
5 6 7 8 6 +1 -1 +1
9 6 -4 +1
0 1 2 7 +2 +1
3 4 7 -3 +1
5 6 7 7 +2 -1 +1
8 9 7 -3 +1
0 1 8 +3 +1
2 3 4 8 -2 +1
5 6 8 +3 -1 +1
7 8 9 8 -2 +1
0 9 +4 +1
1 2 3 4 9 -1 +1
5 9 +4 -1 +1
6 7 8 9 9 -1 +1

Con la tabella precedente si possono sommare anche numeri molto alti suddividendo la somma ordine per ordine. [p. 89 modifica]

Cinesi scuola e matematica Pall 90 1.svg Cinesi scuola e matematica Pall 90 2.svg 37 + 59 = 96
I passo: unità
7 + 9 = 16
-1 p. di terra
+1 nella stecca
successiva
Risultato parziale
30 + 16 = 46
Cinesi scuola e matematica Pall 90 3.svg II passo: decine
4 + 5 = 9
+ 1p. di cielo
risultato: 96

Col pallottoliere classico si rappresentano soltanto numeri naturali e quindi tutti gli algoritmi sono concepiti all’interno di questo insieme. Per questo l’algoritmo di sottrazione deve dare sempre risultati non negativi, quindi si applica solo se il minuendo e maggiore od uguale al sottraendo. Rappresentato il minuendo si spostano lontano dal setto le palline necessarie a rappresentare il sottraendo a cominciare dall’ordine maggiore verso il minore, cioè da sinistra a destra.

Cinesi scuola e matematica Pall 90 4.svg Cinesi scuola e matematica Pall 90 5.svg
40 - 30 = 10
[p. 90 modifica]Talora può essere necessario trasformare la rappresentazione di numeri che richiedono palline di cielo sostituendo a queste 5 palline di terra.
Abacus SVG template 0 000 006.svg Abacus SVG template 0 000 005.svg

6 – 4 = 2

I passo:
–1 p. di terra
risultato parziale:
6 – 1 = 5

II passo:
trasformiamo il 5
–1 p. di cielo
+4 p. di terra

III passo:
–3 p. di terra
risultato:
5 – 3 = 2

Abacus SVG template 0 000 00f.svg Abacus SVG template 0 000 002.svg
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Cinesi scuola e matematica Pall 92 1.svg Cinesi scuola e matematica Pall 92 2.svg

62 - 14 = 48

I passo: decine
-1 p. di terra
risultato parziale:
62 - 10=52

II passo:
trasformiamo il 5
-1 p. di cielo
+4 p. di terra

III passo:
una decina riportata
sulla stecca a destra
-1 p. di terra
+2 p. di cielo

IV passo:
-2 p. di terra
risultato parziale:
52 - 2 = 50

V passo:
trasformiamo il 5
-1 p. di cielo
+4 p. di terra

VI passo:
-2 p. di terra
risultato:
50 - 2 = 48

Cinesi scuola e matematica Pall 92 3.svg Cinesi scuola e matematica Pall 92 4.svg
Cinesi scuola e matematica Pall 92 5.svg Cinesi scuola e matematica Pall 92 6.svg
Cinesi scuola e matematica Pall 92 7.svg

Gli algoritmi per la moltiplicazione sono più complicati. Dato che inizialmente occorre rappresentare ambo i fattori su insiemi di stecche diverse, meglio se divisi da almeno una stecca “inerte”, l’operazione puo risultare piu chiara con un più alto numero di stecche. [p. 92 modifica]

Cinesi scuola e matematica Pall 93 1.svg Cinesi scuola e matematica Pall 93 2.svg 26 x 13 = 338

I passo: unità per unità, risultato sulle ultime stecche
6 x 3 = 18


II passo: unità del pri mo fattore per decine del secondo, risultato sommato alle stecche della penultima in poi
10 x 6 + 18 =78
via le unità del primo fattore

Cinesi scuola e matematica Pall 93 3.svg Cinesi scuola e matematica Pall 93 4.svg
Cinesi scuola e matematica Pall 93 5.svg III passo: decine del primo fattore per unità del secondo, risultato sommato alle stecche della penultima in poi
20 x 3 + 78 = 138
via le unità del secondo fattore
IV passo: decine per decine, risultato sommato alle stecche della penultima in poi
20 x 10 + 138 = 338

Le difficoltà riscontrate per la moltiplicazione si incontrano anche nel caso della divisione per la quale pare esistessero apposite tavole da mandare a memoria o da consultare simili alla tavola pitagorica della moltiplicazione tra naturali della tradizione greca.