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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

punti d’incontro delle tre coppie di lati opposti: dico che anche il punto comune alla terza coppia giace nella curva. Infatti: il primo, il terzo ed il quinto lato dell’esagono costituiscono un luogo di terz’ordine; mentre un altro luogo del medesimo ordine è formato dai tre lati di rango pari. Le nove intersezioni di questi due luoghi sono i sei vertici dell’esagono e i tre punti di concorso de’ lati opposti. Ma otto di questi punti giacciono per ipotesi nella curva data; dunque (41) questa conterrà anche il nono¹; c. d. d.

Se i sei vertici sono in una curva di second’ordine, le altre tre intersezioni saranno in una retta (43,b); si ha così il celebre teorema di Pascal:

I lati opposti di un esagono inscritto in una curva di second’ordine si tagliano in tre punti situati in linea retta².

Dal quale, pel principio di dualità, si conclude il teorema di Brianchon³:

Le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto ad una curva di seconda classe concorrono in uno stesso punto.

(d) Tornando all’esagono inscritto in una curva del terz’ordine, siano 1 2 3 4 5 6 i vertici ed $a,\,b,\,c$ i punti ove s’incontrano le coppie di lati opposti [12, 45], [23, 56], [34, 61]. Se i punti 12 sono infinitamente vicini nella curva e così pure 45, i punti 1, 3, 4, 6, $b,\,c$ saranno i vertici di un quadrilatero completo ed $a$ sarà l’incontro delle tangenti alla curva ne’ punti 1 e 4; dunque:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz’ordine, le tangenti in due vertici opposti s’incontrano sulla curva⁴.

Siano adunque, $abca'b'c'$ i vertici di un quadrilatero completo inscritto in una curva del terz’ordine: $abc$ siano in linea retta ed $a'b'c'$ i vertici rispettivamente opposti. Le tangenti in $aa',\,bb',\,cc'$ incontreranno la curva in tre punti $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$. Siccome però, se tre punti $abc$ di una curva del terz’ordine sono in una retta, anche i loro tangenziali $\alpha \beta \gamma$ sono in un’altra retta (39,b), così abbiamo il teorema:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz’ordine, le coppie di tangenti ne’ vertici opposti concorrono in tre punti della curva, situati in linea retta.

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1. Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
2. Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — Cfr. anche: Weissenborn, Die Projection in der Ebene, Berlin, Weidmannsche Buchhandlung 1862. Vorrede p. VIII-XVII.       [Einleitung]
3. Brianchon, Journal de l’Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806.       [Einleitung]
4. Maclaurin, l.c. p. 237.