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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

dunque:

${\frac {n}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

ossia:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{1}=0$.

Ciò significa che $\mu$ è il centro armonico, di primo grado, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Indicando ora con $\mu$ uno de’ due centri armonici, di secondo grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$, avremo l’equazione analoga alla 2):

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

ossia, sviluppando:

${\frac {r(r-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(r-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

Ma, in virtù della 3), si ha:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,
$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}={\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}$,

onde sostituendo ne verrà:

${\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(n-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$,

vale a dire:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$;

dunque $\mu$ è un centro armonico, di secondo grado, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Lo stesso risultato si ottiene continuando a rappresentare con $\mu$ un centro armonico, del terzo, quarto, ... $(r-1)^{esimo}$ grado, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$. Dunque:

Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ sono i centri armonici, di grado $r$, del dato sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, i centri armonici, di grado $s$ ($s<r$), del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ rispetto al polo $o$ sono anche i centri armonici, del grado $s$, del sistema dato rispetto allo stesso polo $o$.