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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

zione 1) assume la forma:

2)	$im.j'm'=k$,

ove $k$ è una costante.

Siano $a,\,b,\,c,\,d$ quattro punti della prima retta; $a',\,b',\,c',\,d'$ i loro corrispondenti nella seconda. Dalla 2) abbiamo:

$j'a'={\frac {k}{ia}},\quad j'c'={\frac {k}{ic}}$,

quindi:

$a'c'=-{\frac {k.ac}{ia.ic}}$.

Analoghe espressioni si ottengono per $c'b',\,a'd',\,d'b'$, e per conseguenza:

${\frac {a'c'}{c'b'}}:{\frac {a'd'}{d'b'}}={\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}$,

cioè:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Abbiansi ora una stella ed una punteggiata, projettive. Segando la stella con una trasversale arbitraria si ha una nuova punteggiata, che è projettiva alla stella, e quindi projettiva anche alla punteggiata data (7). Siano $a,\,b,\,c,\,d$ quattro punti della punteggiata data, $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$ i corrispondenti raggi della stella ed $a',\,b',\,c',\,d'$ i punti in cui questi raggi sono incontrati dalla trasversale. Avremo:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Ma si ha anche (2):

$(a'b'c'd')=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$,

dunque:

$(abcd)=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$.

Da ultimo, siano date due stelle proiettive: segandole con due trasversali (o anche con una sola) si avranno due punteggiate, rispettivamente projettive alle stelle, epperò projettive fra loro. Siano $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$ quattro raggi della prima stella; $\mathrm {A',\,B',\,C',\,D'}$ i quattro corrispondenti raggi della seconda; $a,\,b,\,c,\,d$ ed $a',\,b',\,c',\,d'$ i quattro punti in cui questi raggi sono incontrati dalle rispettive trasversali. A cagione delle due punteggiate abbiamo:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Ma si ha inoltre (2):

$(a'b'c'd')=\operatorname {sen}(\mathrm {A'B'C'D'} ),\quad (abcd)=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$,