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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

retta, esiste in questa un solo e determinato punto $d'$, tale che sia:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Ciò riesce evidente, osservando che il segmento $a'b'$ dev’esser diviso dal punto $d'$ in modo che si abbia:

${\frac {a'd'}{d'b'}}=\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right).{\frac {a'c'}{c'b'}}$.

Donde segue che, se i punti $a\,a'$ coincidono (fig. 2.ª), le rette $bb',\,cc',\,dd'$ concorreranno in uno stesso punto $o$.Fig.ª 2.ªFig.ª 2.ª

Analogamente: dati due fasci di quattro rette $\mathrm {ABCD} ,\,\mathrm {A'B'C'D'}$, i centri de’quali siano $o,\,o'$ ed i rapporti anarmonici

$\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} ),\,\,\operatorname {sen}(\mathrm {A'B'C'D'} )$

siano eguali, se i raggi $\mathrm {AA'}$ coincidono in una retta unica (passante per $o$ e per $o'$), i tre punti $\mathrm {BB'} ,\,\mathrm {CC'} ,\,\mathrm {DD'}$, sono in linea retta.

Dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in una retta ed altri quattro punti $a',\,b',\,c',\,d'$ in una seconda retta (fig. 3.^a), se i rapporti anarmonici $(abcd),\,(a'b'c'd')$ sono eguali, anche i Fig.ª 3.ªFig.ª 3.ªdue fasci di quattro rette $a(a'b'c'd'),\,a'(abcd)$ avranno eguali rapporti anarmonici (2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti $aa',\,a'a$ coincidono; dunque i tre punti